LES INTÉGRALES GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
Nous avons fait voir précédemment [pages sS et suiv.] comment on pouvait intégrer des équations différentielles linéaires à coefiicients constants et quelquefois même k coefficients variables , lorsque Tinconnue et ses dérivées successives , d*un ordre inférieur à celui de Téquation , étaient assujetties k prendre des valeurs données pour une certaine valeur de la variable indépendante. Ainsi « par exemple, considérons Téquation différentielle
que Ton peut mettre sous la -forme
(2) F(0)j = /(aî), en faisant pour abréger
(3) F(r) =aor» +a,r»-' + ... 4.a„»r4-a„ ,
Si Ton veut que Tinconnue y et ses dérivées ^un ordre inférieur è n , savoir
ie ti&durisent, ^tihr Me ValéWir plMmKii^ 'éè ^^ a«>|«Milité» uio'» :«• » ... »„^,> eti -sorte qu'on dit , pbur *iifa*ov' ^ *
(5) j='ïo, ^'=ïïi j ... :r^''"'^='în-i >
il suffira de poser [voyez la page Si]
^ <^( r-, -^J.: -ry^" j((F(r)))
pourvu qoe, dans le déreloppement du rapport
(7) iMiIilL
suivaDi les puissancos entières de d » on transforme en indices les exposants de ces puissances. De même» étant donnée l'équation
/k\ ^ </> , fli d'^-'jr , i g»-. djr , an ^, .
W ^-JT^+J^VB i/o.-» +••• +Pf7TBF^ 5W + (^^+B)^J^=">^^^) '
si l'on fait pour abréger
(9) F(r) = aoi^''r(r-i)...(r-n+i) + fl.^'»-«r(r-i)...(r-n + a)+... + an-i-rrfr+fl„,
et si Ton assujetti! Tinconnue jr h vérifier , pour œ = a?o » les conditions (5) , on
aura [voyez la page 36]
Xo
pourvu qu'après avoir développé la fraction (7) en une série de termes proportionnels aux différents produits
(11) ii*» = i, «, iï(>î — 1), ïï(ïï — i)...(»î — n-4-2)>
on remplace ces mêmes produits par les quantités
Si Ton suppose^ pour plus de simplicité »
A = i,' JÎ = o, les formules (8) , (9) et (10) deviendront respectiveoient
(14) F(r) = açr(r— i)...(r— n+i)+a.r(r-^i)...(r— n + a)+M.+ a«-ir + tf„,
et les quantités (19) se réduiront à
Observons d'ailleurs qu'on déduira sans peine Téquation (10) de la formule (6), ai Tofi a préalablement substitué , dans Téquation (8) , une nouyelle yariable indépendante
(17) t = l{Ax + B)
à la variable x .
Les valeurs de j^ fournies par les équations (6) 9 (10) et (1 S), peuvent être présentées sous différentes formes qu'il est bon de connaître; et d'abord, comme on a identiquement
(.8) iI±M = /V[.4-X(«-r)]<iX,
U est clair que la formule (6) pourra être réduite à
ni r{x ^^ Xt^ /* * /^* r fflp — ») \ »
(19) y==lY' '^fr[r{i^l)+U]d\^f^c' VWrf'-p^.
Si, dans cette dernière équation, on développe la fonction F'[r(i — 1) 4*^*3] suivant les puissances ascendantes de n, et si Ton remplace les exposants de ces puissances par des indices , on trouvera
y-""^ «VôT)) '^'!'^' «FW)) ■•■"•
Concevons maintenant que l'on désigne par f (x) une fonction entière ou non entière, mais assujettie aux conditions
(ai) t(Xo)=yioy r(a?o)=î»ïi, ... f<*-»>(â?o)=H;i-f
(»i5) On aura é?ideaimeQl , daos Téquaiion (6) ;
la caracléristique D étant relalire à la variable C» et cette variable devant être rédnite k x^ , après que Ton aura effectué les différenciations. On pourra donc rempbicer l'équation (6) par Tune des suivantes
/ «x r r («-.«.) F(r)-F(D) .,. , C '^'-'Kf \J
((FW))
Gomme on a d'ailleurs identiquement
(«5) f (5) = (2)-r)[/^ /«"""^f (Ç)rf?].
quelle que soit l'origine de Tintégrale renfermée dans Téquation (a&) ; on pourra encore à l'équation (6) substituer la formule
(,6) y:=l{e''''-'\?iD).Tm^ye\l)d,2+f^^^^^^^
Dans ces diverses formules, on doit toujours réduira la variable ; à Xo» après les diflerenciations indiquées par la lettre D.
Dans le cas particulier où la fonction f{x) s'évanouit, on tire de la formule (25)
Lorsque , dans cette dernière , on suppose les racines de l'équation
inégales entre elles , on trouve
(29) y = 5(iîa-),
le signe S indiquant une somme de termes semblables au produit Be" , les di-
Ferses valeurs de r étant les racines de l'équation (a8) » et le coefficient R étant déterminé 4>ar la formule
(30) B = -t -iMiIW f(0.
que Ton peut éorire comme il suit *
— ra?o
(3>) ^ = -^;y-[F(Z))-F(r)][«'-«/e-'-«f(Ç)rfÇ].
Les équations (3o) et (Si) ont été données par M. Brisson dans un Mémoire présenté à r Académie des sciences le 37 août dernier. La méthode par laquelle il les a démontrées est digne de remarque; et comme elle diffère beaucoup de celle qui nous a conduits à la formule (6) » je rais Tindiquer çn peu de mots.
Soient •
les racines supposées inégales de l'équation (sS). L'équation (1) ou (s) pourra s'écrire ainsi qu'il suit
(32) ao(D — rO(/)— rO ... (D — r«) j = /(ac) ; ,
et son intégrale générale sera , comme Ton sait » de la forme
Gomme on aura d'ailleurs identiquement
(Z) — rOc''"' = o, (/) — r.)e'**' = o, (/) — r„) e ''"'*' = o , il est clair que les exponentielles
r,(0 TgX T^X
disparaîtront toutes dans le déTeloppemeni de la fooction
et qae l'oo troavera umplemeot
(D — r.)(Z) — r,)... {D — r„)yz=B,{D^r,){D — ri)... (/) — r,)/'*. OU , ce qui revient au môme »
(54) (D — r.)(0 — r,)... (0 — r,)jr = iî.(r. — rO(r. — rj)... (r. — r„). «*"'"". De plus , comme on aura , pour s = a;, ,
Dy=:D{{x), Z)'7 = Z)'f(«) , ... Z)"— y = i)»— f(aj).
et par suite
(Z) — f.) (/> — r,) ...(/) — r.)j' = (/) — r.) (j) r,) ... (Z) — r,) f (as) ,
\ oD tirera évidemment de l'équalion (34)
(55) (O — rO(D — fa)... (/) — n)f(ç) = /î.(n — r.)(r. — 1-3) ... (r. — r„)6''''%
l devant être déduit k Xo après les difTérenciations. Si maintenant ou a égard aux formules
ao{U — f,) (D — rj) ... ^11 — r,} — . jj = jp^ ■ •■ .
dont la seconde donne , pour r=zr^ ^
«•(^« — frKr, — r,) ... (r, — r,) = F'(r,) , on CMaUgâ 4» Ji'AqpKjoni (i&)
(56) iî. -^ np a f (?) .
On obtiendra de même les valeurs de Rt $ Bz ,•$••• Bm qui seront toutes comprises
PatAons maintenant k la formule (iS)» et conceTons que le développement de l'expression (7) en une série de termes proportionnels aux quantités
produise Féquation
r-ïï
Désignons toujours par f {œ) une fonction propre k vérifier les conditions (a 1 ) , et supposons que cette fonction soit entière , mais d*un degré supérieur ou au moins égal à n — 1. Le polynôme, qui devra être substitué k Texpression (7) dans Téquation (i5] , pourra être présenté sous la forme
(87) $f(a5o) 4- ^«•r(««) rf S\.Xo'(>o) + etc....
D'ailleurs , si l'on désigne par m et f deux nombres entiers inégaux, on trouvera , en supposant a = o et As=:i,
A«[*(l-l)(l-îl)...C«-/ + l)]=:0,
Oo aura donc par snite
$f (».) + ^».r(«.) + À«.'f («.) + etc.. =
Il en résulte que , dans la formule (i5) , l'expression (7) pourra être remplacée par celle que fournit la notation
lorsqu'après avoir effectué les opérations indiquées par la caractérisUque a et relatives
( «"7 ) à la variable s, on réduit celte variablo à ^ro et ^a différence finie à l'unité* Donc, en intégrant Téquation (iS) de manière que les conditions (5) soient rem|>Iies , on trouvera
En oj^ranl de la roëme manière » on tirerait de la formule (lo)
Afin de montrer une application des formules que nous venons d'établir, supposons que, la lettre n désignant un nombre entier quelconque , on veuille intégrer l'équation différentielle
de manière que , pour x = i , les fonctions
reçoivent des valeurs respectivement égales à celles de la fonction x"" et de ses dérivées successives, c'est-à-dire, des valeurs représentées par les quantités
Dans ce cas , on trouvera
IL* AKivÉB. sg
puu foD 60 oMiclura , BU prenant #= o »
Par conséquent la formule {40 ^oanera
Si > pour fixer les idées , ^n pose a = i # ti = a , m :?«: 4 # l'équation (49) se trouvera réduite à
et cette équation , intégrée de manière que fou ait , pear x:ssj ^
donnera
'{'f't'-''f[^)dz « + 5 ^fy-'nz)dz
ou 9 ce qui revient au même ,
(49) 7 = aj* C09 — A^ + i^8in — J-i^-îL-J^ s-sm — -i i.jf(,)rf8 .
Si la fonction enlière f (a;) ^ qui vérifie par hypothèse les conditions (ai) » ^^ <'(> degré n — i , elle sera nécessairement déterminée par la formule
Deplus^i^Qmmfion aura v
et
il o»t -«Uic quVm flMV.P<)>^i^ » «jprès ll|s €|pdf»iioaa îediquées par ta caraclérisiique a , 5 = 0, on trouvera
(5») >^»,i+^jj — ;3r"^
On tirera d'aiileurs de la formule (5o) '
6iC«a* y
Les équations ,(ii).et (&2) fournissent le -moyen de développer facilement le second membre de la^formiile ,(40-
No» sterMtifaeiom , «o tormbaBt eet article, qu'on pourrait encore transformer les valeunS'de j 'Iburaies par les équations (iB) » (§4) » (^) t (40 » (4") • en se servant d'urne îiotatioo ppioédemmeNt adoptée [peges 16a ettoiv.]. En effet, si l'on désigne par
l'intégrale double
air
hfijy""^''^'''^')f^')''^'^''
on recapMlIva» par «xemple , que les ^équatiens ('aS), (a4) deiacident avec les formules
(53) jr:::^.l.
