SDR LA CONVERGENCE DES SÉRIES
les diiEireDta lermes d*aiie série réelle ou imaginaire ; et
la aoiDiDe des n premiert termes » « désignant mi mndire entier qoelèonfie* Si , pour d^ valeors de n toujours croissantes , la aonune j» s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite eanvergenUt et la limite en question sera ce qu'on appelle la ê^rnnu de la série. Au contraire » si , tandis que n crpH indéfini** ment, la somme ê» ne s'approche d'aucune limite fixe» la série sera divergenu et n'aara'plni dénomme. D'après ces princfpes, pour que la série (i) isoit conyergentcj il est nécessaire » et il suffit que les valeurs des sommes
correspondantes à de irès-grandes râleurs de fi ^ difl%rent trèi-peu lès unes des autres , en d'autres termes » il est nécessaire » et il suffit que la différence
(5) *.+« — «. = tl^ 4- tt^+, 4- ... 4- Un^m^t
devienne infiniment petite» quand on attribue au nombre n une valeur infiniment grande « quel que soit d'ailleurs Te nombre entier représenté par m . Cela posé , soient
(4) *•., '*•« , n\ rj, etc.. U.,
les modules des dîfférenU termes de la série (i) » en sorte qa*^0n ait généraleibent
(5) u„=n(Cosf»4-|/n'tînfi„)
p» dés^fnt un arc réeU U «it dair. que, si la i4m (4^ jast-eonÉergalo » ha séries réelles ^ -»'
r»cospo » t*» cosp, , r, coifi» , ri coêpi , etc. • . ,
r.sînpo , fiSinpi » r^sinf!. » rssinpf » etc.. ,
le seront à plus foHe raison , d*ob Ton est en droit de conclure que la série ( i ) » oo (7) ^o(cosp. 4- j/TT «în/ï») , r.(cosp, + i/H'sîn/ï,) , r.(cosp, + V^ wnpt^) 9 etc.,
sera elte-méme convergente. Ajootons i.* que les séries (4) et (7) seront évidemment divergentes , si le module ir» obtient des valeurs très^-considérables pour des valeurs infiniment grandes 4le l'indice n ; 9.^ qu'en vertu d'un théorème établi dan( TAnalyse algébrique [page i45} la série (4) sera convergente» si la limite vers laquelle eouTer-
gent , tandis que n croit indéfiniment ^ les plus grandes valeurs de (r»)* , «st inférieure à Tunité. U ne pourra donc 7 avoir incertitude sur la convei^ence dea séries (4)
cl (7] que dans le cas où » la quantité r» décroissant indéfiniment avec — , la
limite des plus grandes valeurs de (r^)" deviendrait précisément égale à Tunité. Or, dans ce même cas » on pourra souvent décider si la série (4) est conveii^onte ou divergente , en recourant k Tune des propositions que nous allons énoncer.
i.** THioB&MB* Soit /(se) «ne fmetian qui demeure caneiamment pœiiwe pour des valeurs positivée de la variable œ; et admettons 1/ que ta fonction f{x) décroisse indéfinimesu avee — / 9.* fue le rapport ^
reste, pour des valeurs infiniment grandes de x, et pour des valeurs de 0 qui no surpassent pus Cuniti, compris entre deux limites A g B\, finies ^ mais diffirentes de^zérà. La série
(9) /(o). /(•>, /(»). /(S),. etc«..
sera convergente t^ si (intégrale
.«•fin
(10) J f(fl)dx
s'évanouit pouT' des valeurs in finimont grandes du nombre entier n^ quetque soit (CailUurs U nombre entier m; et divergente dans U cas contraire^
Dimmuiratîm. Désignons paf «• la somme des « premiers termes de la série (9) , en soric qu'on ait
Pour M¥oir si celte série est convei^nte ou divergente » il suffira d'examiner si la semine
(i«) ^«+« — «« = /(n)4- /(»-+- «)+ — + /(« + wi — i)
s'éTanouit 00 mmi » ipiand on attribue & ti . dea valeurs .iniiniea » quel que «oit d'ailleurs le nombre entier m • D'ailleurs on aura évidenÉment ...
05) J f{x)dx=r f ix) dm -^J ^ f{x)dx '{....'{. J f{x)dx
dx
d'où Ton conclura , en représentant par. f un nombre compris entre les limites o, \,
Or, en vertu de rbypothèse admise , les rapports ° - ' ' .
/,rx /(n+») /(«■H+») /(n-mi-i+fl)
^^ "7ôô~' /(«+•) /(»+«-i) •
étant tous compris » pour de très*grandes valeurs de n , entre les limites A ei B , on pourra en dire autant de la fraction
/(n+Ô)+/(n+i+«)+.,,+/<îi+m-i+«) / ^ f{x)dk
^ ' /(n)+/Cn+i)+...+/(«+m.i) <..+m-*»
Donc la différence
aiiifm"""^
•era renfermée , pour de très-gratides valeurs de n « entre les deux produits *
Donc, si l^inlégrrle (lo) s'éranouit^ quand ob attribue h n dei Yaleurs- infinies, quel que soit d'ailleurs le nombre entier m , on pourra en dire autant de la quantité Sii^M — in , * et la série (9) sera convergente. Mais si Tintégrale (10) difi^re sensiblement de séro, pour des valeurs très-considérables de n« et pour des valeurs finies ou infinies de m, alors la quantité s«^m<— «» ne, sera pas nécessairement nulle pou» n = oo, et |a série (g) sdra divergente* Dans ce deeniericas, la somme «« cessera de cuuverger, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite finie j. Cette somme deviendra.dono infinie en même temps^eie nombre n ; Par la même raison , la somme $n^m et la dtfTérenee Sn^MM-^^» deviendront infini^ avec le nombre nt, si, après avojr .aUribné à n nae valeur trèsH^msIdérabio', niais,délennkiée, on, bit croître le nombre m au-deià de toute limite.
Corollaire» Lorsque le rapport demeure- constamment renfermé entre lea deux quantités '
et que la teconde de cet deux quantités croit saiu cesse pour des valeurs tiès-considé^ râbles et croissantes de la variable 0; on peut érideounent supposer
et pat suite la somme
se trouve , pour des valeurs considéraUes de « , con^cise entre les deux limî ExtmpU. . Supposons , pour fixer les idées , ..
f. désignant om quantité. eoutive..La série (9) deriendra
s'évanouira oa ne s'éyamouira pâs^. poor .des Taleors ininiea de n » auivant que le
• • • • Aa • > « tt •. • VX 1 f ' • y t9\.
si Ton a fA > I ^ el diyetgeitte. renée
(.5) ,ft^.-^*,a».|j-^ 4"-^-^ +.-+'J
»+lll)/'
sera le produit de llatégrale (s4) poor un ftcteor coiapri» entM les limite»
—il- •
Dana le oaa> particulier tiile aoiake. p^ ^^^wl^kTusù^^lé^UmfïitS^
[%^) • i^r ^^ yr j. etc...,
et nntégrale (a4) doit être remplacée par la tuifante
Or fespression
qui derient aentiblement nulle aTec; — » quand on attrihaatan^ nombre jni' une va*-
leor finie, cesse de s*é?anooir, quand -fir défient comparable k n , par exemple, quand on suppose m :='n , m = a fs » •... Donc la série (37) est divergente. Ajoutons^ que , pour -cette même série, la dii
(«9> '•*«-•••= T7r+ tir +"•+
sera le produit d« Ilotégrale
par un faotow eraipris e&lre lee liraitea >
>2.^ TB^ORfiMB. Sait f{oe) une fonction ijui dt^'ea¥e eon$tamiMht pàittivt pour du valeurs poêitives de la variable x, et qui» pour dfi trie-grandes valeurs de cette va-
rîable , décroisse sans cesse évec ' — t La eérfe (9) eerm em^rgemesi C intégrale (lo)
s^ évanouit » pour des valeurs infinies de n » qupl que soit m ; et divergente dan» le cas cQntratw^ .>M
Démonstration. Djp|DS Thypotb^e adinjse^ i'iniégrale (10), qui forme le premier membre de Féquatioa (i4]|'e^ni^c>t^^^^.^'- grandes yaleora de n » iuférieure au po; lynome
et supérieure à 1 1 * ^
En d'aatre» .tonnes , rintégrale
sera , pour de tri^-çrandes valeurs de n , .comprise entre les deux difiSSrences (Sa) - Sn^« — **, :ilii4^^/|— S|
et, comme celte proposition restera yraie, tandis que n et m varieroot , l'on doit
ei|.iCQOoIurevqu0iIfi;dii!&nnt6ii> ir ^ :. 'i* . . » « u.
,v .î "iJ • .'■...'> î. "A»j#»»TiS» !'.■
sera comprise entre les deux intégrales
.(55) /;^^.:../Ij5)rf«.-^-. /;- /M«'«,
( "7 ) c'esWà-dire , inii&rioure h la première^ el sapérieureà la seconde. Gela poaé » concevoir d abord que l'intégrale (to) t^éTanùaiBse pout' n=:« » quel que soit m. La première des intégrales ( 55) , et par suite la différence Sn +m — s„ » s'évanooiront pareillementr Donc alors la série (g) sera convergente. Au contraire, si Tintégrale (lo) diffère sensiblement de zéro , pour des Valeurs très-considérables dé n , et pour des valeurs finies ou infinies de m» la différence Sn^.»^-— '« ne sera pas pécessairement nulle pour n = 00 9 et la série (9) sera divei^ente. - -
on s as-
Exemptes. Si Ton applique le tbéorème qui précède à l.a fonction -j —^
sorera de nouveau que la série (as) est convergente pour ' ff > > ». et divergente pour {t= ou <C 1* De plus,» on neodnÉftra qttoh dîifiirttBM^ ; ; : .
est comprise entre les deux limites
■-/*.n«-^ (rt+m+i)«-/»-(n+i)«-/»
et la différance^
entre les limites
Supposons encore
La térie (9) deviendra
IW r(5) r<4)
et » c<»nme llntégralé
06) r ^^'"^"^ dm-- "* rKfs4^m4. m- * rlY^O.,
( ;tt8 )
,conMPT«ra «m yabur fiai» poor nie YilÎBar nfinra de n« « l'on prend m:s=n, oa m = an , etc... , on peot affirmer ^e jh série ($7) wra -dirergeate. De ptos ;!« MiniiK
(59) *-*--*-=-ir;7~ + "7:;r"T"'+-;r;:ïr"
aéra comprise entre les deax limites
l(n«fm)-^l(i») |/ ^m\ ^ l(n-mi+i)4.1(iH>i) ^/ ^ m \
c'est4i-dire , inférieure à h preoMère ci ittpérieiire à la aeooMle.
Les théorèmes i pt % continaeraien^ évidemment de subsister si , dans la série (9) ; quelques-uns des premiershermes étaient rédints ir^éro, ouMmpi»a6s par de nouvelles quantités. Concevons , par exemple , que Ton considère la séritf
CtCeea 9
à laquelle se réduit la série (9) . lorsqu*après avoir supposé
on remplace le premier tenj^e . /(o) t= — =« , par «éro. Comme l'iot^ale
y**'''*' dm .(l(»-H«+i)>
conaerrera Tune de« yalears finies
lorsqu'on attribuant au nombre n des valeurs très-considérables , qn délerminera le nombre m par Tune des équations
on pourra conclure du théorème 1 ou s que la série (4i) est difergente. De picii od reconnaîtra que la sommé
(44) *»+« — Sn=^ ' ' +-- —; r + ••• +-; m r
est renfermée entre les deux limites
c'est-à-dire supérieure h la première et inférieure & la seconde. Considérons enfin la série
^^^^ *»' - iIîTï)F' 5ïîM^' 'ïïîM^' """"
dans laquelle fx désigne une quantité réelle : on reconnaîtra sans peine, à Taide du 2.* théorème, i.* qua celte. série est convergente ou divergente, suivant que Ton sup<pose fi > 1 , ou p < 1 ; 3.* que, pour cette môme série, la différence
est comprise entre les deux limites
mfim^^^m^im
