Démontrer la relation

fJ

'\]{x,y) d.'T dy ^ .

P est un polynôme de degré n^ U est \défini par V identité

dxy

sJV{x)

(y-'X)s/Wy)

C et 01 sont deux contours, dans les plans des variables complexes x^ y^ entourant, le premier les racines a^ et a-i deV =: o^ le second les racines a^ et a^.

Fig. 4.

Posons z = \/P{x) \/P(jk) ; nous avons à considérer

r r\ à [ P(x) 1 d [ P(jK) -j;^ ,

Nous avons deux intégrales J, et Jo. Calculons J< .

Soient p Gl g les points où les contours se couperaient si les plans x, y étaient superposés, y suivra le contour C et ^ le contour XtX^-j- Xf,Xs, laissant de côté deux petits éléments autour de p et q. Laissons d'abord y fixe en un point quelconque de C.

Quand :r effectue le tour de C, la détermination de sJV{^x) n'est pas changée.

Intégrons donc en ^ ; il vient

/(^,)-/(.rO

{y-xp)\/^^y)

11 reste à effectuer

C sera décomposé en mqnrm et mfmpm par un petit contour auxiliaire. Puis la première partie sera décomposée elle-même autour de g.

Ecrivons o sous la forme Oj -f- Oo •

On

?l|<£, |cp2|<£.

£ tendra vers zéro en même temps que les arcs ^,^2 et a^sXji.

INous appelons F le grand contour, y, et ya les petits contours dessinés en pointillé.

Pour le contour F, les intégrales de es, et (D2 sont, en

module, moindres que y^, qui s'évanouit avec e. Pour yi et y2, un seul tej^me donne un résultat. Le contour ^^ donnera

s/FTxT) dy

(puisqu'on peut faire évanouir le contour y, ).

Le contour yg donnera, P(jk) ayant changé de détermination après le contour du point «2?

y/Pl-^i) cJv

Donc

Avec ce contour,

C'est la démonstration simple, donnée par M. E. Picard, d'un théorème de Weierstrass, relatif aux systèmes de périodes des transcendantes hjperelliptiques.

Pour le cas elliptique, le théorème est le suivant :

K= f ' ==, K,= f'id,

1 = j id.

On a

KJ,-JKi=:- -

(Weierstrass, Werke, t. 1; Picard, Fonctions algébriques de deux variables, t. II).