SOMMES DE GAUSS

Déduire ces sommes de l^ intégration, suivant un contour fermé, de la fonction

Supposons n^=.in! et prenons pour contour un rectangle de côtés n' et ip^ p étant un entier ;

OA = OA' = /?, AB = A'B' = n' .

Les pôles sont o, i, 2, ..., n' . Nous les isolons par de petits cercles ou demi-cercles.

Fie. 6.

Étudions l'intégrale de contour.

T. Sur AB.

Soit N le numérateur z =z t =:^ pi,

Le dénominateur

D = e^-T^P ( I — Donc

Q-l'KPe'LTUt

Ql-Kit

1} \ r^ e'^'^i' (pour/> = oc), / < / e " dt

Ceci tend vers zéro avec -

IJ. SurA'B'.

On voit de suite que l'intégrale tend vers zéro avec -

m. Sur A' A'' et B'^A.

Nous obleiions de suite

Le crochet se réduit à — i. D'où

il e « dt.

Ceci est uue expressioa conaue, a, lorsque s = o,

yO = 00.