Rappelons quelques résultats

Soit une fonction /"(z) méromophe.

Représentons par ^ /(^) la somme des résidus dans l'aire C.

Prenons pour le contour de C successivement des circonférences C/ij de rayon R,,, évitant les pôles, R,^ croissant indéfiniment avec n, on a

Crt 2 7: ^Q

Zn= R«e'?.

D'où ces théorèmes :

Si l'on a

(i) lim Zn/iZn) = A

uniformément pour olcs^aTz, il en résulte

(2) lim / f{z) = A.

(•) Voir le Volume, si précis et élégant, de M. E. Lindelof (collection E. Borel).

Cette limite est le résidu intégral de Caiichy

Le théorème subsiste si la condition (i) est vérifiée sauf seulement pour/? valeurs de cp et si, en ces points, Znf{zn) conserve un module fini.

De même, si l'on a

(i') lim/(^„)=4,

la condition étant réalisée uniformément, sauf en/? points oiifizii) conserve un module fini, il en résulte

Os — X

Si l'on a

et si la fonction y est impaire, on aura

Il suffît d'écrire

r''^znf(zn)d^ ^ r

Jo ^n—OC ,1

;nf(Zn)dQ r^^ Zn(z„ ^x)/(Zn)d^

'0 -"-^ ~Jo

Appliquons ceci.

2. Calcul des nombres de Bernoulli. — Ce sont les coefficients du développement de —^-—-,

Formons

/(^) = 4a. ;in

Les pôles sonl ii= iiiTÙ^n entier) et zéro. Nous prendrons