R„ = ( 2 71 — I ) TT
Ainsi C„ étant toujours à une distance finie d'un pôle quelconque, Znf{Zn) tend uniformément vers zéro sur tout le cercle Ca- D'où A = o,
3. Développement de t^coVt.z, — Simii; a les racines simples zb n qui seront pôles simples de cotres.
D'après les développements tajloriens, chaque résidu est -h I.
Prenons R„= Ai ? alors la circonférence C,^ passe à
distance finie de tout pôle, d'où, M étant un nombre fixe,
l/(^«)l<M, d'où
lim = o,
uniformément.
D^ailleurs, la fonction est impaire, d'où
as
ircotT:^= h > ( 1 )•
cr ^ \ cr -^ n x — nj
Ceci peut s'écrire, 7 signifiant qu'on associe constam-
ment + A" el — k (pour la convergence),
cot^
tangiP — — cot ( a^ ^j= — \ -
f I / X x\ v^' (— i)^' -: 1= - cot h tang - ) = > — -.
D'une façon plus précise, et conformément aux idées d'où proviennent les théorèmes généraux de Weierstrass et M. Mittag-Leffler, écrivons
cot
X ÂiÊà \X — KTZ KT. X -^ KTZ A TZ
Intégrons
4. Trouver les points singuliers possibles des intégrales des équations linéaires homogènes, par le calcul du Wronskien. — Soit, par exemple, pour simplifier, une équation d'ordre 3
et trois solutions w, t^, iv\ elles ne sont indépendantes que si le wronskien est ^ o,
Groupons dans le terme p toutes les singularités de P,
Q, R, écrivons donc
= \\u II' — p(oiu"-h^u'-\-^u)
= ~P0L\\U U' U"\\=—PW,
Si donc W(^o) 7^ o, W ne peut s'annuler que pour les points singuliers de yo(^).
L'intégrale est donc régulière tant qu'on n'atteint pas un point singulier des coefficients.
o. Soit
une équation différentielle du premier ordre; à quelle condition doit satisfaire la jonction f{x^ y) pour que les courbes représentées par U intégrale générale
forment une famille de courbes parallèles? (Sorbonne.)
La trajectoire orthogonale de la famille des courbes (i) a pour équation différentielle
il faut et il suffit qu'on ait
or, on a, en dérivant l'équation (2),
46 CHAPITRK II
d'où la condilion
df ôf dy
dx dy dx '
et, en éliminant y-,
Donc f{x^ y) satisfera à l'équation aux dérivées partielles (3), dont l'intégrale est
(4) ^-^yf=o(n
Posons
dy
on aura
-y- =Ax,y) = p, -^ p p
On n'a qu'à dériver^ en x^ d'où x en fonction de p 6. Etudier V équation différentielle
par le changement de variable
[A, B, a, 6 sont des constantes. Les dernières sont arbitraires (*).]
L'équation (i) donne
(1) Halphen, Mémoires de l'Académie des Sciences, t. XXVIII.
Nous poserons
Dérivons (3), deux fois, il vient ajanl posé
' Bi = a(6-h2 — a) = B— 2A — 3^2,
a étant racine de l'équation (5) provenant du système (1) par élimination de b
(5) a(cr-i-i)(a-h'2)H-A(a + 2) — B = o,
(4) et (i) sont identiqnes, sauf quant aux valeurs des coefficients, d'où les remarques suivantes :
i" A = B = o. — L'équation (i) est à coefficients constants, donc intégrée.
Alors (5) admet la racine a = — i, qui donne
Ai=:B,=— 3.
Donc (i) est intégrée pour
2" A = B = — 3. — Alors (5) admet encore la racine a= — I, qui donne
Ai=— 6, Bt = o.
Donc (i) est intégrée pour
3" A=: — 6, B = o. — L'équation (5) admet la racine a = — 3, qui donne
Ai=:Bi = — i5.
Donc (i) est intégrée pour
Nous apercevons une loi : (i) peut être intégrée ainsi pour
n étant un entier, premier avec 3.
Démontrons-le :
Soit
(5) admet la racine a =: — i , qui donne
Donnons ces valeurs à A et B, (5) admet la racine a = — /i, qui donne
A, = — (/i2-h 3n-h2), Bi = o.
Donnons ces valeurs à A et B, d'où la racine
a = — (n-h 2), qui donne
A,= Bi = i — (/i-4-3)2.
