Trouver une intégrale de Inéquation

,. ffl21= A

^^ dx"' ^x — rL)>\x — ^Y-^

qui soit de la forme

{x — oi)V-{x— §)v

(A est une constante).

Soit

P est un polynôme entier.

D'autre part, développons z suivant les puissances décroissantes de X

Si nous faisons jji -|- v = /2 — i , nous aurons

Comparons (2) et (3), z est une solution si l'on a pour P(^) une constante

Il est inutile de calculer B/^ par le développement précédent.

Décomposons (2) en fractions simples

3(«' affJL — [). ..(fji — n-h i) A I

(a— P)« {x — cl)"- D'où la relation

(5) ix{^ — i)...{ix.~n-^i)= i^y^^yr

C'est une équation, en |jl, de degré n qui a n racines.

Nous avons donc n solutions et l'équation (i) est intégrée.

D'ailleurs (i) se transforme en une équation à coefficients constants si l'on prend pour fonction (')

et pour variable t =z i^'- — — v

(') Halphen, Mémoires de l'Académie des Sciences, t. XXVIII. D A 4

5o CHAPITRE II.