h a = [Ji, y z= XtjL

z = v/[Jt2cp(X) + ').a\x — «2.

La normale à cette surface est

Écrivons cette normale

^ette normale a une enveloppe

si Ton

Ceci doit être vérifié pour <:A = o, d'où

'2[JLcp'(X2-h r -i- cp) — 2aX2cp'-+- 4aX(cp 4- i) = O.

Deux solutions :

2° X2-M + cp = o.

9. Trouver les courbes planes telles que, en les transformant par inversion, il existe une relation donnée entre les courbures aux deux points qui se correspondent

ifig- 7)

PROBLEAIES DIVERS.

Soit Y l'angle du rayon vecteur avec la tangente-, on a de suite, dans un triangle infiniment petit,

tanç^V = — :

Soit p la distance de O à la tangente

p z= r sin V

d'où

dp ,r'^—rr"^ir"'

— — ■= rr •

dr 1 '

Soient ds l'arc de courbe et R le rajon de courbure,

ds = dQ //'2-t- /-'-^

ds r dr

d^ 4- dV dp Nous emploierons celte formule (2).

Soient r^^ p^, R^ les éléments de G', courbe transfoimée de G, on a

(3) rri = i,

et cette relation donne

ri dî\ — dr

dpx r dp — ip dr

En établissant une relation entre R, R,, nous avons une équation dififérenlielle.

Soit, par exemple,

R,= aR, nous avons

dp 'ir dr , i

Remplaçons p par , nous obtiendrons 9 en fonc-

lion de R par une quadrature.

10. Soit Q la projection d'unpointM d'une surface S sur un plan fixe P. Soit N le point de rencontre de P avec la normale, en M, à S.

Trouver les surfaces S telles que la longueur QN soit constante.

Lignes de courbure. (Sorbonne, 1899.)

Le plan P sera le plan x(^y. N a pour coordonnées d'où

On a l'intégrale première

(2) p = aq.

d'où l'intégrale complète

(3) — — • = — '^ -t- ^ = .r nos // -4- y sin // -4- h.

Nous posons

€l dérivons (3), par rapport à m,

. — U' = irsina — ^cosa.

Exprimons^, jK et z en fonction de deux paramètres u et(^,

a? = ( U H- p) cosM — U' siuM, jr = (\J -h i>) s'mu -h U' COS M, z = y/2 K p ;

ce sont les équations de surfaces moulures, dont les lignes de courbure w:=const., p» = const. sont toutes deux planes.

On peut reconnaître directement que les deux familles de lignes de courbure de la surface

, . i — î7 -h {] =z X COS U -h y s'm U,

sont planes. D'abord, on a

(2) z dz = K{co?>u dx -^ sinu dy)j d'où

K COS u

K sinw ^= z '

i-+-/>2| qi—[^

d'où

P KCOSM

, K sin M , da = du

V/iî2-4-K2

KZCOSM ,

,dz,

j, Kcosw , db = du

K^sina

.^dz:

l'équation différentielle des lignes de courbure

dx db — dy

da = 0

devient

K sin M

dx [( K2 -f- ^2 ) COS udu — 2 sin M dz] •+• c?x[(K2-h z^) sinu du -h zcosu dz] = o, (K^-h z^) { COS udx -h sin udy)du-+- z{cosudy—smu dx) dz = o,

OU encore

z dudz -\- z{V' -^- X co<&u -h y sin u ) du dz — o,

5!-r H U H- U"+ \)dudz = o,

d'où les deux solutions :

i^ dz=^o^ z = const., famille de plans parallèles; 2" du=^Oj w = const., mais alors l'équation

U' = y cos U — X sin u

donne une seconde famille de plans perpendiculaires aux premiers. Les lignes de niveau et les lignes de plus grande pente de la surface sont d(jnc ses lignes de courbure.

Remarque. — En remplaçant —jt par une fonction quelconque de z^ la même méthode donne les lignes de courbure d'une surface moulure quelconque.