Étudier V équation aux dérivées partielles

(l) po^^qy=l.

Trouver les lignes asymptotiques des surfaces intégrales.

Surfaces telles que ces asymptotiques soient données par r intersection des paraboloïdes

xz = cy, pour l'un des systèmes. (Sorbonne, 1898.)

On obtient, de suite, la solution géuérale de (i) Dans le plan y = eux, on a une parabole.

Les asymptotiques sont données par

Pour que l'équation précédente soit vérifiée par la surface z = Ci/, il faut avoir

Posant

u = et^ f{u) = ert,

on a une équation linéaire homogène à coefficients constants, d'où

f{u)=. Ae'-t-^Be-t= Au^-h -,

d'oiJ l'équation générale des surfaces cherchées,

Pour exprimer les coordonnées de cette première famille de lignes asymptotiques en fonction du paramètre m, on a

A w^ -+- B -^ Au^-\-B

L'équation différentielle des lignes asymptotiques est dz du

le signe supérieur donne la première famille et 5 = - la seconde; c'est encore une famille de paraboloïdes.

Cette seconde famille de lignes asymptotiques a pour équations

u Les deux familles sont uniciirsales.