Une droite A est représentée par les deux équations

X = A w H — , Y = Bp

OM A e^ B 50Ai^ c?e5 constantes données, u et v des paramètres variables. On demande :

1° De démontrer que cette droite A î^este normale à une famille de surfaces, lorsque u et v varient de toutes les manières possibles;

2** De former et d'intégrer V équation différentielle des lignes de courbure de ces surfaces,

(Sorbonne, 1899.)

i'^ On a

a — b = —;=- > p = Au^ ûT = Bp,

d'où

/a2| b'i-^i ^a2-Hè2 j i

et l'équation de condition

est vérifiée. D'aiJleurs

a dp -\- h dq . , r» , x

dl — = — {Audu-^Bi^dv)

d'où la surface

Z=:— l»/i a2— p2^\m2h- Bp2H-G),

A„2-^B,/2^C\ ^ /^ Ar/^-^Bf>2+C'

PROBLÈMES DIVERS. 5y

2** Les cosinus de la normale étant respectivement

les formules de Rodrigiies donnent, pour l'équation différentielle des lignes de courbure,

uv{Adu^—B dv^)^ [A(] — u^ ) — Bii — ç^)] du dv = o.

Cette équation difî'érentielle peut s'intégrer en posant u^ = x, v^=y,

d'où

= \/xy^ du = — '— , dv =

ce qui donne

^(A 4- By ) = ;r(A + By )y + (B - A)y ;

c'est une équation de Glairaut dont l'intégrale sera

Ba^K2 -f- ( B — A 4- Aa7 — BjK)K — AjK = o,

d'où enfin