Etudier V équation aux dérivées partielles

Former une intégrale complète. Trouver la forme de F de manière que les caractéristiques soient lignes asympto tiques des surfaces intégrales^

M — px -+- qy, "^ z= py — qx.

Les caractéristiques sont données par

dx dy dz

M.X — ay ~ My + ax M^ — aN

— dp — dq

pM -h aq A- p F' ~ q M — ap -h qF''

En combinant ces équations, nous avons dM dN

(2) M = Na

est une intégrale première.

Combinant (i) et (2), nous avons

a2N2- aaN -+-2F = o.

aàz s/«' — •>. a- F

Prenons le signe +, calculons /?, q et formons

dz = p dx -\- q dy, a- dz X dx ~ y dy x dy — y dx

Intégrons et représentons par <ï>(^) le premier membre :

oc Y

(3) *(-3) = - •C(^^ + J") — arc tang^^ h ^.

Voici une intégrale complète.

Les asymptotiques sont données par

(4) dp dx -\- dq dy = o.

Prenons des valeurs proportionnelles à dp^ dx, ...,

(4) devient

(5) a(MF'-2F-a2)-rtF'=o,

a est constant sur une caractéristique, mais varie de l'une à l'autre, de sorte que l'équation (5) exigera

F'=o, '^=-\^ alors

a{v -H v/i -t- a^) Ceci n'a plus de sens si a^o; nous avons alors une

PROBLÈMES DIVERS. Sg

autre équation

px -^ qy±\/ — 2F(^)=o.

Ici les caractéristiques se trouvent dans les plans y^=mx.

Si l'on veut que les caractéristiques soient asyniptotiques, il faut que la surface intégrale soit une développable, donc que l'on ait

Nous avons alors les cônes de sommet

{Nouv. Ann. de Math., 1899.)

14. On donne une hélice. En chaque point, dans le plan osculateur, on mène une droite D faisant avec l'axe un angle constant donné. Lignes asymptotiques de la surface, lieu de D? — Soit Thélice

a7 = cos6, ^ = sin6, z = 1%.

Le plan osculateur a pour paramètres :

A=:/sin0, B= — /cos6, G = i.

Écrivons l'équation de D :

X — ce Y — V Z — z „ ,„ ,„

k est connu. Et l'on a, D étant dans le plan osculateur, a = -^-l— kl sin^ ^z l cos^ ^l^-— k^-{l^ -h i)] = msinOdr /icosB.

Prenons le signe + ; on a ensuite

b = — m cos6 + n sinO;

d'où les équations de S, lieu de D :

X = cos6 -+- an., Y = sinG -f- bu^ Z = /e -^ku.

6o CHAPITRE II.

Ecrivons l'équation des asymploliqiies :

Il rf^x x'e x;, II.

Nous avons d^ en facteur, d'où la solution 0 = const.

C'est la droile D. Il reste

o =— 2du[nik-h l{\ — A:'^)]-h d^[iun -h u^{\ — k'^)], m ^— j, n^—j sl'ÏÏ— /c2(/2+i).

Il suffît de faire une quadrature.

En particulier, l'hélice est une asymptotique, car l'équation est satisfaite pour

w = o (du = o).