Théorie du facteur intégrant
dx dy
Si l'on a il en résulte
Moc.y) X{x,y)
ox oy
m{\ dx — Xdy) = du{x,y).
Ayant un multiplicateur M, tous les autres seront
Mi=Mcp(«) (g arbitraire).
La recherche de ce multiplicateur d'Euler équivaut à celle des transformations infinitésimales de Lie, lesquelles donnent des résultats d'une façon intuitive.
Ici le facteur M existe toujours, bien entendu, avec certaines restrictions de continuité...
(II) V{x, y,z)dx^Çldy + Kdz=^o.
Les solutions sont des courbes. H y a des solutions surfaces si l'on a
ou
PPi4-QQ,-hRRi = o.
Alors la solution s'obtient en intégrant le système
dx dy dz
p;- q;~ ïï;*
Ceci donne
J. Bertrand a montré qu'il suffit alors de dilFérentier y
et z en 57, a, |3, de porter dans (II). Gela donne A(a, ^)^a + B(a, P)f/[3= o.
Intégrons, nous avons
Remplaçons a et ^ en fonction de x, y^ s, nous avons les
solutions
Mx,y,z) = C.
(E. Picard, Cours lith., Hermann, 1887).
17, Soit la surface
^ = « (^ ( « ) -I- p sin 6 cos ?^, y ^ V sin6 sinw, ^ = p cos6.
Q est une constante. Exprimer que la ligne de striction se trouve dans le plan y Oz. Lignes asymptotiques. — Le plan tangent sera
I X — x Y— jK Z — z
I (Tcosw (Tsinw Y
en écrivant 0-= sinO, y =: cos8.
Les paramètres de la normale sont donc :
A = yjp cosu,
B = Y ( 0- c^ sin i/, — a o
G = aacp' sinw — i-v.
Dans le planyO^, on a
a cosa Les paramètres sont :
B' = — T<^^' — T^? tangw,
^, , . aacp
Au point infini, les paramètres sont :
A"= yacosw,
Nous exprimerons que ces directions sont à 90°; alors le point central se trouvera dans^^Os. D'où
-I- cp'( a) sin w = o, cp = cosM,
cosu
c'est-à-dire
cp' = — sinw, cp"= — cosM.
Ecrivons l'équation des asymptotiques :
(acp" — V(7cosu)du- — 1(j sinududi> acp' — vdsinu tjcosu — ç<j s'm u du^ -h i(y cosu du dv va cosu <js\nu
]Nous avons la solution du = o.
Ce sont les génératrices.
Puis une équation de Bernoulli.
