Condition pour que les courbes, intégrales de
forment une famille isotherme. En déduire un facteur intégrant. — Soient
(-2) M(.r, jK) = a
les intégrales de (i). u doit satisfaire à l'équation de Laplace.
Soit p, un multiplicateur de (i) :
du du .
.66 CHAPITRi: II.
= - — — donnera la relation
ôy
IX l
Oy dx Ox ây
D'autre part, u est Jiarinonicjue, d'où
(3) et (4) nous donnent
/^/ , f!,dy-f^dx
Pour qu'on puisse déterminer u, il faut que le second membre soit une différentielle totale exacte. D'où, pour y, la condition
ou
Posons
-r-4 -^- T^ —t^nf (paramètre différentiel du second ordre),
dx^ dy^ -./M n
\-4-\ ~^ \'è~) = '^if (paramètre différentiel du premier ordre), OU
(-/^)(ê-^SrO-
'4ïS^-(l)1
Si cette condition est remplie, nous aurons
dx -^ dy
^-— :^ = dv{x, y),
^logfx=— - d\o^{\-\- p)-^ dv{x, y).
log|a = loge — - log(i + /2) -i- v{x, y),
d'où
î20. Soit une famille de courbes
(F) ip2^2jK2= a.32^ x'^^y^--^z^=^z.
Démontrer qu^ elles sont les trajectoires orthogonales d^ une famille de surfaces.
Lignes de courbure de ces su? faces.
(Sorbonne, 1901.)
Cherchons le système d'équations difTérentielles des courbes (F), en différenliant et éliminant a, ^ :
j j j ^--^ ■^- X^ j X dx H- iy dy =: 7.Z dz t= '— dz ,
7 7 j o j :r2-}-r2 4 22 1 X dx H- 2 J dy -^ 9.Z dz =^ p dz =: ^ dz
ou bien
dx dy dz
■2yz(y^-i- z^) ■ — xz{x--h 3y'^-\- z'^) ■ — ixyz'^
L'équation des surfaces trajectoires orthogonales est (s'il y a intégrabilité)
<i) F dx-^qdy-\-ndz = o;
P, Q, R sont les dénominateurs de (I), et l'on a bien lacondition voulue.
Intégrons par la méthode de J. Bertrand :
dx dy dz
o ~~ r>.yz ~ x--\-'Sy--\- z-^ ' ~
y dy 'x z dz
Posant
il vient
dZ Z - a2
équation linéaire qui donne ou
Eliminant x et z, il vient
+ '^ J ( 2dy~^ i 27 a>' — 2 a 6fa ) = o,
— 2pû?a + aû?^ = o, ^ = 2Ka2=2K^^ d'où
Cette surface est engendrée par le cercle mobile x = 'ky, x--\-y'^-^ z^—ik\x^
qui est ligne de courbure.
La deuxième famille de lignes de courbure sera donnée par des sphères tangentes en O au plan xOy
