Enveloppe des plans

(i) •xux-^T.vy -^ (i— m2(;2)^ ^y(j^)^ ^(^^,y

Montrer que les lignes de courbure sont planes. Déterminer f et 'sD de façon que les plans des lignes de courbure d'un même système passent par une droite fixe. Lignes asymptotiques de la surface enveloppe.

(Sorbonne, 1906.)

Les coordonnées de l'enveloppe sont données par (i),

(2) IX — laz =■ f'iu)^

(3) iy — •ivz=o'{v).

Posons

les cosinus de la normale à la surface sont

nu , 2^» tr '^-

Soit w =: a, constante; alors le plan (2) a sa normale faisant un angle constant avec la direction c, c', c" .

De même pour v =^^ {théorème de Joachimstal).

Donc les lignes de courbure sont dans les deux familles de plans (2) et (3).

Pour que les plans (2) se coupent suivant une droite, écrivons que leurs traces sur xOz ont une enveloppe réduite à un point

— ^ = y"(^^) = const.

Nous avons ainsi

f =z aiû- -\- ibu -\- c^

çp = a(^2 | 2^(;4 Y.

Les lignes asymptotiques seront données par

(4) V û?c dx = o.

DifTéreiilions (2) et (3) :

idx — ludz — 9.Z dii= f"(u) du = 2 a du, '1 dy — iv dz —izdv =. xol dv.

H faut donc calculer z cl dz :

/*-4-c5 — uf — vo' m — au^ — a(^-