XX(2-?)**-X
Formule de S tokes- Ampère, dans V espace. — Soit une portion de surface, ajant deux côtés, limitée à une courbe gauche. Ayant fixé un côté de la surface et un sens
sur la courbe
Foj' mules de Green :
n^^p.^^\dxdydz= fpdydz-+-qdzdx-^Rdxdy.
(intégrale de volume) (iolégrâle suivant le bord exté-
rieur de la frontière)
Dans l'espace (et aussi dans le plan),
A indique %y-^ symbole de Laplace,
J = / U V — cos ( /i, a? ) «fa — / U lY dx dy dz,
d<7 est Télément de surface de la frontière du volume, n la normale extérieure
J(V^Y-Y^V)dxdydz=f(u^-Y^^d<J,
— — =z dérivée normale extérieure.
dn
Séries trigonométriques (variable réelle). — Cette étude s'impose : i*^ dans la théorie des fonctions analytiques, pour étudier f{z) sur le cercle de convergence; •1^ pour avoir des expressions analyMques de fonctions discontinues.
L'étude élémentaire comporte les conditions de Diri- CHLKT : f{x) borné àdiï\s un intervalle a — 6; n'ayant qu'un
nombre fini de disconlinuités; sa variation ne changeant de sens qu'un nombre fini de fois.
Dans ces conditions
lirn lim f
' . , sin('2K + i)a . ~ri-/ x t^ / i
F (a) — — ^ —d% = -[F(-ho)-t- Fr-TT — G)].
Ceci suppose que F n'est infini qu'en des points isolés (non en a = o ou a = tt) ;
Que l'intégrale de [ F | esl finie et déterminée;
f{x) dans l'intervalle o — 271 peut être représenté par
S = - «0-1- ^^m cosm:r -h b,n sinmiP,
cim= - / /(a) cosma<ia, b„i— — 1 f{'x)s\nmada.
Pour oS^= 27C,
Si /'(^) peut devenir infini en des points ^ en nombre fini; si l'intégrale de 1/(^)1 esi finie, la foimule subsiste, sauf en Ç.
Dans un intervalle a — 6, o <ia<,b <^i-^ où /(^) est continu, S converge uniformément.
Entre o et 2tc, nous avons un seul développement uniformément convergent, celui de Fourier.
Peut-on avoir un autre développement, à convergence non uniforme, pour y (^)?
La fonction satisfaisant à certaines conditions (de Dirichlet ou de G. Jordan, ou définies par des propriétés de certains ensembles)^ la réponse est négative.
Signalons un théorème de P. du Bois-Rejmond :
Lorsque 1 — ^ —/ [x)dxa une timitepour n = oOj
INTRODUCTION. l3
cette limite ne peut être que -/(-ho). {Voir les Leçons
de M. Lebesgue, coll. Borel, et le Mémoire de M. Hurwilz, Ann. Ec. Norm., 1902.)
