Etudier V équation

pY — qoc

Montrer que les caractéristiques sont lignes de courbure des surfaces intégrales. — Passons aux coordonnées polaires; (i) devient

D'où l'intégrale première du système des caractéristiques ^^=const.; d'où une intégrale complète.

Ecrivons (i) sous la forme symétrique

posons

py — qx = l]^ H-^2|^2 y^

Le système des caractéristiques est

jkU — K2/>R

x\] — K2 q H K^ R dp dq

joU-f-K2jKV

Vérifions que ces courbes donnent lieu à l'identité {voir plus loin, p. 83)

Ceci donne (i"

dx -\- p dz dy ^ q dz dp dq

U2 K2VR = o.

Remarque. — U = const. est une Intégrale première de(l).

72 chapitre ii.

23. Equation adjointe. Transformation de Laplace. — I. Soient les systèmes

doc

—7- -\- ax -\- by -\-cz =0,

(1) { -^ -f-ai^-f-èijKH-Ci^ = o,

dz . ,

^ + aX H- a, Y -h «2^ = o,

(2) > lI-+-6X + è,Y+^2Z =0,

I <iZ

-77 +cX + c,\ -hCîZ =0.

Ils sont adjoints l'un de l'autre, et l'on a

d{\x-^\y-\-Zz) = o.

Soit donc la solution de (i)

(^1,715-21), iXi,yi,Zi), (a73,jK3, ^3).

On aura la solution de (2), c,, Co, C3 étant des constantes, par

Xa7,-|- Yj)^i-4- Z^i= Cl, XiPa-H- . • = Co, Xa^a-h. . .= c'3.

D'autre part, soit l'équation différentielle (i') a7«-t-/?ia:"-i+. . . + p„a7 = o.

Multiplions par ^, intégrons; nous avons une partie iî et en plus

- ^Yjiy"- {pxy)"-'-^{piyy'-^+' . .-^ (- ^Ypny] x dt.

Annulons la partie entre crochets :

Si l'on transforme (i') en un système (i) et (2') en un système (2), (1) et (2) sont les systèmes adjoints précédents.

Par exemple, soient Y,, Yo, . . . , Y,^ /2 solutions de (2'); la solution de (i') sera

p,dt

d'^-^-yu d''~^yk djk ^ dt'^-'- dt'^--^ '" dt -^'^

Le facteur qui précède le déterminant est l'inverse du wronskien des Y;^.