Applica tio n

1. Soient deux polynômes du second degré P(:r,^), Q(:r, y) ayant mêmes termes homogènes du deuxième degré.

SoitF(x, y, z, u) une fonction homogène du deuxième degré. Mettre les polynômes sous la forme

. F(a7, jK, a, b), ¥{x,y,(x, ^) et montrer que la l' dation

vérifie le système

s dx dy yJVix, y')

La lettre h ou H désignant un ensemble homogène de degré 2, on a

¥{x, y,a,b) = h{x^ y)-\-'^{a,b)-^Çka-^\xb)x-i-{\'ia^lx^b)y.

Soit, d'ailleurs,

P(a7, y) = h(x, y) -+- mx -f- ny -\- p-

Nous résolvons facilement le système

Xrt -}- [jt.6 = m, Xia -h ;/i 6 = 71, H(a, 6) = />,

avec les analogues en a, [B, m,, n,, jo,, ces trois derniers étant les coefficients de Q.

Donc

P(^ir) = F(a',7, a, 6),

Q(^ ■'))=Fa, rj, a, p),

-y et -7-^ sont homogènes, de degré i, donc satisfont à la relation

d'où

^ ()cp do d(& c>o

()Q ^ d2^P Jgp ()2P

(?$ ~ dx^ ^ (9^? d^ (^a^ da ^ àx Ob

dO ,

et -7— est analogue.

Dans ces conditions, la différentielle de (2), relativement à x^ y, 5, Tj, est

^X= {^qdx-^PdO(-^'^-^§ Elle est nulle, d'après (i).

PROBLÈMES DIVEllS. 77