Etude de r équation

F étant une fonction quelconque. (Laguerre.)

Associons (3) avec (3') '"'^ ^''^'

Soit une intégrale de (3')

Les relations de (i) donnent ainsi dx dy d%

v/Q /Q /P Éliminons ç entre ces deux équations :

d^y ^"s/q \dx)

dx-^ ~ v/P "" v/P C'est (3).

Or, nous avons vu que la relation (2), avec r^ = B(Ç), est une intégrale première du système (1).

La théorie de Jacobi s'applique aussitôt, car

Donc le système (I) a une deuxième intégrale

I ii'{l)dx — dy (4) tJL = const»= y -T? — :

ai "k est le premier membre de (2).

78 CIIAPIIUE 11.

(4) est la solution de (3), puisqu'il j a deux constantes arbitraires )., [jl.

6'(5) est une fonction connue de yj, puisqu'on connaît r^ = 9(^) solution de (3^).

Enfin, par {'a), 'f\ s'exprime en A, x; y.

Donc (3) s'intègre si l'on a une solution particulière de (3').

27. Démontrer, par la théorie générale des fonctions ^ la relation

(Stieltjes.)

Si ^z désigne un logarithme bien défini de z^ tous les autres sont justement

i' 5 dz 2 71 r i.

Donc la série représente une fonction uniforme (elle converge comme ^/i~2), soit/(;j).

/(^) =/( - ) 6t/(^) tend vers zéro si ) ^ | devient infiniment petit ou grand, le dénominateur de chaque terme croissant indéfiniment. Dans ces conditions, /'(^) ne peut devenir infini que si l'un des termes est infini.

Prenons J^^ = j^o^? celui dont l'argument est nul sur l'axe réel, et écrivons

on a le pôle ^ =: H- i . D'ailleurs

<2) f(,^k)=-^(lH-h+!^^... )+....

PROBLEMES DIVEHS. 79

Donc ce pôle est double. La l'onction a-t-elle d'autres

zéros que z = o^ oo?

Calculons

J--L-. clz = 2 t: i ( r — p ) :

r est un contour renfermant tu [)ôles et p racines.

A cause de la convergence uniforme de la série et de ]a série dérivée terme à terme, on voit de suite que, si F est un cercle de rajon infini, l'intégrale est nulle, d'où

Comme il j a un pôle double, nous n'avons que les deux racines o, oc.

Donc

et la relation (2) donne

Remarque, — Faisons ;: = e", puis intégrons :

-=yf ■ . '—\

I ^U \u-\- •}. n-i a -\- ifiTzi J

Faisons a = o; deux infinis se détruisent :