Soit une série convergente (o < ^ <; i

(1) f{x)=^-^sminr.x.

8o CHAPITRE II.

Démontrer que la dérivée est, quand la série (2) converge uniformément,

(•2) f{x) = -r^ y\(Cn—Cn+i)s\n(in-+-i)T.x

(M. Leuch, Ann. Ecole norm., 1895).

Posons /'(^) z=^ g[x) et intégrons g{x) après avoir employé la transformation d'Abel :

^ gp 6p = ^ A^ ( b,, — bp^x ) + ag h g, 0 0

A/, = «0+ «i-H«2 + . ..+ cip, o-p= G/,— C;,+i,

d'où

X,, = — Gy;H-i, car Co^o,

bp— sin(9,jD -h \)t.x, d'où

bj, — bp^x — — 2cos(2/> H- i)tzx sinTT^T.

Si donc g{x) converge uniformément, nous pouvons intégrer terme à terme, ou encore intégrer de x^ k x^ :

V^ ^ , . ^ sin(2/i -h NTT.r

7 ITzLp-^xCO'àiip -\- l)r.X + T.Ln+\ : •

La première somme donne bien, pour n = 00,

11 suffit de voir que le reste tend vers zéro :

r •** sin ( '2 /n- 1)7137 R„ = TT G„4-i / .„ ^ dx

^ Ir — cos(2/i -i- i)Tra?"] »i

= 7rUrt4-i { :

L (■^^-+- i)7ïsin7:a7 J.r^

Jr^' C0S(2/l -+-l)Tr:r — TTCOSTia:: , ) ' 7- r T—z dx \ .

(2/i-+-i)z sm^-KX

PROBLÈMES DIVERS. 8l

Nous avons en facteur un terme de la forme

lequel tend vers zéro puisque la série converge. Par le même raisonnement, on a

o{x) =^ ^ — ^ cas 2 me X,

?'(^) = • 1. ^{Gn—Gn-t.i)c&s{'2n-\-i)Ti:x. SI n li, J7 ^Ktt

Application. — Calculer

„ , , V^ cos2/i7r,

D'abord F et G convergent (i;oi/-, par exemple, Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques) ;

F'(ar)=-i,

a'où

pour ^nz-, chaque terme est nul, d'où

G'{X) = — TZ COlT,X,

d'où

G(a7) = — 4l,sin7ta; -h ^ ; faisons x =^ -> la série donne

•d'où