Soit une fonction développée en série. de Fourier

f[x)= — -h ^ ^ ajc cos kx -{- b/c sin kx ;

Démontrer les relations

sin — (x —y)

/i^)f(r) -—- — :: dxdy,

. x — Y sin —

(2) lim S,= ;^ r U{x)X-dx

(A. HuRwiTz, Ann. Ecole norm., 1902).

Partons de ridentité élémentaire

sin {x — y)

= 2 — h cos(^ — y) -i- cos 2 (a? — y) -^ • • -

-4- cos/i(;r — y)

Écrivons

c.osk{x — y) = coskx cosky -+- s'inkxs'inky, les variables se séparent et (i) est prouvé.

Fig. 8.

.Z\ 2(^di) 2

Transformons l'intégrale (i).

D'abord prenons deux fois l'intégrale relative à OAB ;

puis, dans OAB, remplaçons le rectangle élémentaire dx dy par le parallélogramme de hauteur dy et de base id\ (2Ç = 0M définit la droite MN parallèle à OB),

^^=:r. / — TTTi ^ç / /(r)/(r + 20«(r;

soit

D'après la théorie générale, on aura

nrzoo t/^ s'il Ç ^

F(+o)4-F(27r-o)=y f(y)Ay)dy.

D'où la relation cherchée, si F est continu, et ce qui a lieu lorsque / est bornée et intégrahle (^ ).

(1) Pour les questions fondamentales de \ Analyse, voir les Livres classiques de MM. C Jordan, Picard, Goursat, Humbert, Dini, Osgood, de la Vallée-Poussin, Appell et Goursat;

Pour la Géométrie : MM. Darboux, Bianchi, RalTy, Vessiot;

Pour les Exercices : MM. Frenet, Villié, Forsyth, et surtout Tisscrand- Painlcvé.