FONCTIONS DE BESSEL

'"(->=2:i7ûV7u;

Démontrer lès relations

Equation différentielle de J,i. Racines de J„ : Dans J,/^, , faisons p =^ g — i :

TRANSCENDANTES CFASSIQUES.

Remplaçons l'indice q par p et ajoutons :

f nn\ n—\-

Faisons la différence :

C'est bien Écrivons alors

*J/î— 2+ J« = ('ï l) ~" J/i-Il

Nous avons, sans difficultés, Féqnation différentielle

Remarques. — i° La formule vaut encore pour n = o, car les précédentes valent en posant J i = — J< . 2° L'équation (i) s'écrit aussi bien

Démontrer la relation

Nous avons

j;,(aa7)= -J„(aa7) — aJ,i4-i(a^),

(l'accent désignant la dérivée en ^, non en a^).

Ecrivons, d'ailleurs, Téqualion (2) sous ces formes :

u = s/xin{^3'), / = «- T^T"'

"4^2 On a de suite

[vu'—iw']l=f {g—f)uvdx, qui donne la relation cherchée.

Démontre?^ que V équation J„(:r) = o rCa que des racines réelles et que J,^ et Jn+i n'ont pas de racine commune. — Si in admettait la racine cl= a-h bi, il admettrait la racine ,3 = a — bi.

Posons J„(a^) = A + Bf, J,i(j^^) == A — Bï. Le théorème qui précède donne

/ x(X^-hB^)dx = 0,

ce qui n'est pas possible.

La deuxième partie se démontre de même; on aurait

/ a:[ini°^^)]- dx = o.

L^ équation J„(^) = o a une infinité de racines dont V intervalle tend vers tc.

Bappelons un théorème de Sturm (*).

On a

y" -^y^{^) = ^1 z" -{- z^{x)=io^ (]^{x)%^{x).

(•) Journ. de Liouville, t. I. Voir les belles applications de M. E. Picard, Traité, t. III.

Soient Xt^, x^ deux racines consécutives d'une intégrale y. Une intégrale z quelconque a au moins une racine entre x^ et x^.

Ceci résulte aussitôt de

[zy—y^']x{= yz['h{x) — o{x)]dx.

Soit, de plus,

o(ip)>a pour a? > o (a>o).

Faisons à ^ a, d'où, Ci et Go étant arbitraires,

z = Cl cos^ax -\- C2S\n\/ax,

l'intégrale ^ = o ayant une infinité de racines positives; il en est de même pour y.

Eu égard à l'équation (2), la première proposition est prouvée.

Pour ^ >► L, on a

l + 'iri>H >I — £.

£ et 71 tendent vers zéro avec y-* Ecrivons les équations

y-f-^(H-£) = o, z"-h z(i-hri) — o. La première admet la solution

j^ = sin/i — z{x — a) qui a les racines

/j — z(x — a) = kTz.

Pour la deuxième, la solution

a les zéros

z = sin y\-\-r^ix — a)

Donc la fonction ?^ = y/^ J„(.r), qui satisfait à (2), a

une racine entre « et a H , Soit b cette racine,

a étant déjà une racine de u.

D'au Ire part, a -\ — " sera entre a el b, d'où

Um(b — a) = 7:

lorsque x devient infini.

{Cours de M. Picard, en 1900.)