FOJVCTIONS BÊTA KT GAMMA
Par définition,
V{a) =1 x^-U-^dx (a>o),
Y\{a,b)= f x^-'^{\.~xy'-'^ dx (a>o, ^>o).
Jq
Intégrons par parties :
r(« -1- 1) = rtr(a), Vi II -\- \.) — \n in entier).
r aisons :r = — - — :
Transformons — - — - en produit.
On écrit
ce qui donne
En effet, si l'on pose
on a
£ tend vers zé/^o avec 'C, c'est-à-dire avec -
D'ailleurs,
5 étant arbitraire, prenons, par exemple, l = e "; alors / n^~^ ra-\ d;- tend vers zéro avec — et nous avons à calculer
im /
d'où la formule demandée.
Prenons donc n entier et posons ^"=: j' :
Il — y n — 2 I r , , , o 7
= ...= / (i— y)«+«-2 rfv.
a aH-i a-^/i — 2j^j^ -^^ "^
V(a) = hm /i« . . — •
n=oo\ Cl a+1 a-\-n — 1 a -^ n — ij
La quantité entre crochets s'écrit, en prenant l'inverse et en posant a = ^,
Les exponentielles sont introduites, conformément aux idées de Weierstrass, pour obtenir un produit infini convergent.
Rappelons que la constante d'Euler est
= lim ( 1 h. ..H -C^)
Les valeurs o, — i , — 2, . . ., — /i, ... sont les pôles de la fonction gamma qui est ainsi étendue à tout le plan de la variable complexe. Faisons le produit :
Cela résulte de ce qu'on a
d'où l'expression
•ri(-f.>
C'est la formule fondamentale
sinaTT
On a la j^elation capitale On peut l'établir (Stieltjes) en partant de
et en écrivant
puis l'on forme
■^[f{oo,a)f{x,b)\
et l'on intègre clans l'intervalle o — x en remarquant que, si l'on écrit u = zx, on a
d'où
On fait alors x ^= co.
La démonstration classique de Jacobi consiste à partir de
xa-i Q-tx dx —
On multiplie par y^ < dy et l'on intègre dans l'intervalle o — 00.
Soit la série hyper géométrique de Gauss
l.C I.2.C(CH-1)
l'exprimer au moyen de V intégrale
3=1 z^-i{i — z)<^-a-i(i — zx)-f'dz,
et en déduire F (a, 6, c, i) exprimé par la fonction gamma (^) (Gauss)
jL^ \ .1. . .Il
(') Hermite, Cours, 4° édition, 1891
Posons donc
^in^",
mais
d'où
ht =
b(b -j-i)...(6-^ n — i) T{a-^Ji)V{c — a)
r(a-i-/i)=a(a-Hi)...(aH-Ai — i)r(«^),
i = l'"'V.''-'''via,0,c,.),
et, pour ^ = I ^
Remarque. — Il faut, bien entendu, que la série converge, pour X =.1. Or
u,i-^\ a -\- Il b -{- n X
Soient
a= a' -^ ia", b ■=.b' -\- ib".
c = c -\-ic
=1/ i-l- -(n-c' — a'—b')...= IH U-\-c'—a'—b')...,
d'où la convergence pour
d'où la divergence pour
Rappelons que F satisfait à l'équalion
(x — x^)F" -{-[c —{a -h b ^ i)x ]¥' — abF = o, ce qui se vérifie de suite (G. JoKDXiSy Cours, t. 1).
i. EXTENSION ANALYTIQUE DE LA FONCTION GAMMA.
a étant réel positif^ ne pouvant pas, d'ailleurs, tendre vers zéro, écrivons, avec M. Prjm (* ),
Dans la première quadrature, développons e~^ en série, il vient
Or, ceci représente, a étant complexe, une fonction méromorphe dans tout le plan, ayant pour pôles : o, — ^ i, — 2, ....
Dans la seconde quadrature, d'où la valeur zé/'o de x est exclue, écrivons
Ceci est une fonction entière de a, Q(a). INous pouvons
donc faire l'extension analytique en prenant pour T la dé/i~
nition
Gela fait, M. Gram (-) a obtenu de nouvelles quadratures représentant F dans les diverses régions du plan. Écrivons
(e-^^-—i)x^-^dx
(•) Hermite, Cours lith.
(2) Actamathematica, l. XXVII.
est bien défini pour
Ji = J'^ -1-J",j deux parties correspondant aux intervalles d'intégration o — i, i — oo.
Or,
donc
Ji=P + Q;
donc c'est une expression de la fonction gamma pour les valeurs considérées de a.
De même
32= I {e-^^i — a^x)x^-^dx
représentera la fonction gamma pour
Etc.
