FONCTION ZÊTA DE RIEMANJV

Développer en série (^(5+1), Soit II (5) = F (5 -h i); nous avons

On a

a = s -+-\ (Gauss);

n(5)^(5 + i)= / x'<{e-^-\-e-^-^~^e~^^...)dx

Je x^dx (Riemann),

d'où la relation (1).

Développons en série l'intégrale du second membre de (i) (Stielljes) :

(3) a„=jr"(^i__f l)(j^^y.rf^.

Pour évaluer cin-, partons de II (5) et dérivons n fois :

f O^xy^e-^ dx.

Posons

X = kx' (/c> o); cela donne

( 4' ) n("' {o) = k f ( J^kxy^ e-t'^ dx,

d'où nous pouvons tirer

/( J^x )« e-''-^ dx = kk.

Soit, en effet,

d'où

Effectuons la somme S,=: A, 4- Ao -1-. . .-t- A^.:

— ^: — {^xy^dx [n[,«)=n(«^(o)]

Nous pouvons encore écrire

J/*" / c~^ e~^ e^ g-(r+l'.r Q—[r-\-\.)x Q-[r-^-\)x\ (r.r)" ! 1 \dx.

d'où trois intégrales.

La première est a„, la troisième tend vers zéro avec -> la

deuxième se calcule facilement par dérivation. La dérivée par rapport à /• est A,j.<, donnée par (5); la l'onction est nulle pour /• = o, et s'obtient en intégrant A/^i terme à terme, d'où, si l'on peut passer à la limite r = cc^

(h) a,i=hn\ [ i "^ { -2 r •>. ^ \

Posant

(pour r = oc),

(7) «„=.n;,«)G--n[,«-i)Gi+'ii^^ni,«-^)G,....

Ceci montre qu'on a

(8) r(5 + n— i = G — Gi^H -s''- ^a-»....

Remarque. — Toutes les intégrales ont un sens bien défini, car

n'esl pas déterminé, mais

/ (-Cl^)'* dx

tend vers zéro quand t et s' tendent vers o.

La troisième, dans S^, tend vers zéro avec -• En efifet, nous écrirons r = r' -{- r^' , Nous prendrons /•' tel que l'intégrale où r serait /' ait un sens. Il nous reste en facteur e'^''""^^^^ que nous pouvons mettre hors du signe. (On écrit

et l'on remarque que n'a pas une infinité de

racines.

Quant à C, Cl, Co, . . ., ce sont des nombres bien déterminés, comme on le voit en construisant la courbe

On a, par exemple.

ii^...^<z^r^^^

ou

D'ailleurs

Nous avons donc des nombres croissants avec l'indice p^ toujours moindres que zéro. Ils ont une limite.

Par la formule (8) on vérifiera ce théorème de M. de la Vallée-Poussin (<) :

(') Annales de la Société scientifique de Bruxelles, i8c)6,el Mémoire sur la f onction de Rieniann, Bruxelles. 1899.