III. — Fonctions d'une variable complexe
Si nous avons une fonctions réelle /(^), si elle admet n dérivées, la {n -\- i)^^™^ restant finie, mais n'étant pas dérivable, on peut employer \di formule finie de Taj'lor
Dans quel cas peut-on passer à la série infinie de Taylor? La théorie des fonctions répond à cette question (^).
Soient V{x^ y) et Q(^, JK) deux fonctions réelles, déterminées, dérivables.
Il faut et il suffît :
âP
dx ~
dP âq
dx "" dy
Ou bien :
8P =:. 0 = ùQ
âx^
. symboh
Alors P 4- i'Q est fonction de x-\-iy^ fonction holomorphe, ou sjnectique, ou régulière, ou monodrome, c'està-dire déterminée, ainsi que sa dérivée, et continue
,, , dP .dO
sjnectique. Donc : toutes les dérivées sont synectiques. (') Voir Coll. Borel ( Gauthier-Villars).
ij INTRODUCTION.
Par définition, on pose
f f(z) dzzzz I (P ^x — Q dy) -f- i((ldx -h P dy).
On va de A en B par un chemin quelconque.
Jf /(^) dz est indépendant du chemin, c'est une fonc-
tion synectique F, sa dérivée est/. Donc : toutes les intégrales sont synectiques. Nous avons l'analogue du théorème de la moyenne
f{z)dz
M X arcAB,
M étant supérieur au module maximum de /sur Tare.
(Si la fonction devient infinie, ou l'arc AB, voir ^\\is loin Textension de la notion d'intégrale.)
Remarquons que f{z) donne une Carte du chemin de z.
Dans une région S du plan de z=^ x -\- iy^ si la fonction est holomorphe, sauf en des points ou groupes de points qui n'interrompent pas la continuité de S, la fonction est dite analytique [J. Hadamard, La série de Taylor (coll. ScientiaY[-
f{z) est développable en série de Taylor si elle est holomorphe dans une aire finie
f{z) = ^{z — Zq) = ao-h ai(z — Zo) +. . . (Gauchy).
Le développement converge dans tout ce/'c/e de centre ^o où /reste holomorphe.
Si la fonction cesse d'être holomorphe en un point isolé 2, , on a le développement suivant, convergent dans un anneau de centre 2,, isolant 2,,
f(z) = ^{z — ^i) + ^J?i ([ ^ ) (Laurent).
D'où la définition du pôle et du point singulier essentiel.
Tout ceci se déduit de la formule
X est intérieur au doinaine (G) dans lequel /(^) est holomorphe.
On peut dériver
' ^ ' -Jç. (-5— a7)«^-i
Si le domaine est un cercle de rayon R, de centre O, M étant le module maximum de f sur la circonférence,
d'où la majorante^ pour/,
Cela s'étend au cas de/? variables.
Si/(^) est holomorphe dans tout le plan : i" Et de module borné, c'est une constante;
2" Et telle que =^^^ soit borné, c'est un polynôme de
degré m.
Siy(-3) est analytique dans tout le plan :
1° Et n'ayant comme sinj^ularité que le point infini, pôle d'ordre m^ c'est un polynôme de degré m;
2" Et n'ayant comme singularités que des pôles, même au point infini, c'est \xne fonction rationnelle.
Une fonction analytique qui n'a, à distance finie, que des pôles, est dite méroniorphe. Elle est le quotient de deux fonctions entières, c'est-à-dire holomorphes dans tout le plan.
Soit une fonction F, holomorphe dans un domaine (G) sauf en des points isolés. Eu un tel point z^^ on a un
l6 INTRODUCTION.
terme —-^ — ; A. , s'appelle résidu
j ¥{z)dz = 2ru\X-i
Soit F une fonction analytique n'ayant que des pôles, o une fonction synectique.
Soit u un pôle de F et p une racine, on a
^ est la sommation étendue au domaine (G). Le pôle (ou racine) multiple d'ordre k sera compté k fois.
Tout ceci est dû à Caucliy. On en déduit le théorème de d'Alembert.
Fonctions élémentaires.
Logarithme. — Soit^ = pe'?,
^z = j -^ = ^p + icp.
Ce sera déterminé si cp est fixé, c'est-à-dire si l'on trace une coupure artificielle de o à l'infini, qu'on ne traversera pas.
Ayant bien défini l'argument o, on a
}izz'=X^z-\-Slz\
Exponentielle. — Soit e^ la fonction inverse de J^^, on trouve e^ =^ e^ {cos y -{- i ?>\u y) , donc nous retombons sur les définitions élémentaires.
Puissance de 5,
rin — f>ni.
i P ^ o, R a une infinité de valeurs,
{ a non rationnel, * a une infinité de valeurs.
Ayant bien fixé J^z^ c'est-à-dire R et <I>, on a encore
Les propriétés élémentaires prennent une forme un peu plus compliquée que dans le réel.
Soit
z ne change pas par k circulations autour de o. Mais ce mouvement fera s'échanger entre elles des puissances rationnelles de z. '
Ceci a donné naissance aux feuillets de Riemann.
Par exemple, z'^ n'est holomorplie que si l'on trace une
coupure artificielle o — oo.
De même, 4;^^^^ et ys^ — i sont holomorphes, si l'on
trace une coupure entourant complètement + i et — i .
Arc tangente et arc sinus. — Intégrons
dz __ \ / dz dz
z"^-^ \ ~ ii\z — i z -^
nous obtenons
arc tang5= — :[4^(2 — i) — ^{z -\- i') -\- ikizi\.
On obtient des branches s}'nectiques si l'on trace, à partir de -h « et — i, des coupures qu'on ne traverse pas,
r dz arc sin^ = / »
On obtient des branches sjnectiques si l'on trace, à partir de -h i et — I, des coupures qu'on ne traverse pas. On a encore
arc sin^ = -r KS.^^ — V»~~~^)' Or '
{iz-\-yJ ){iz — s/ )= — I.
l8 INTRODUCTION.
On a donc, comme pour le j^éel,
arc tang^ = a -f- A:it,
ia -h 2^71, {ik -{- i)Tr — a.
Intégrale complexe généralisée. — Dans le domaine (G), si autour d'un point è on a
Soil
cp = arg.(5 — ^>).
Si l'on arrive en b par un chemin L tel que
l'intégrale est déterminée et indépendanle du chemin L.
Même théorème pour un chemin A s'étendant à l'infini, si cp finit par rester entre cp„ et cp, et si
Dans les cas les plus ordinaires, la condition relative à cp n'interviendra pas (C. Jordan, Cours, t. II).
Remarque.
Si l'on veut pouvoir parler de fonctions analytiques, autres que les combinaisons des transcendantes élémentaires, il faut :
i" Ou bien, avec Weierstrass, prendre pour départ la
série ^a„^'^ (prolongement analytique, etc.);
'1° Ou bien, avec Riemann, prendre pour départ le problème de Dirichlet (sohilion de 8 w := o, déterminée par les valeurs de u sur un contour fermé du plan xy).
Théorèmes d'existence.
Soit une fonction holomorphe, développée en série, M le module maximum, r^^r^y^ ... des nombres moindres que les rayons de convergence associés; Gi, G2 et leurs combinaisons sont des majorantes
Voici, alors, le principe du Calcul des Limites de Cauchj.
Soit ^ =if{x,y) analytique.
Ecrivons
dz m
dx
s'il y a une solution ^, holomorphe, il existe une solution y, holomorphe, a fortiori, autour de l'origine.
Dans le plan de x^ on aura à prendre le plus petit des deux cercles
a, p = aVi — e~2M^/,
pour un système de n équations du premier ordre,
La méthode des approximations successives de M. Picard donne, au lieu de p,
(E. Picard, Traité d'Analyse, t. II et III).
Le calcul des limites et les approximations successives s'appliquent aussi aux fonctions implicites (E. Fouet, Leçons, et M. Goursat, Bull. Soc. math., 1903).
Rappelons la méthode fondamentale de Cauchy-Lipschitz, où l'on regarde la (lifférentielle comme une différence ; la méthode d'approximations de M. de la Vallée- Poussin (Cours d'Analyse) ; la démonstration de M. Féjer, qui ramène immédiatement aux quadratures (Comptes rendus, 10 décembre 1906).
Lorsque /(^, y) satisfait à la condition de Lipscliitz, bien plus large que la condition d'analjcité
on peut affirmer V unicité de la solution.
Après les travaux classiques, sur ce sujet, M. Goursat a fait l'extension directe du calcul des limites. Soit /? =/(.r, JK, 5, q) anal^'tique.
M. Goursat remplace x par - dans la majorante
Remplaçant z par z -\- ax^ j n^' contient pas de constante, d'où
posant
