A CELLE DE LA FONCTION GAMMA

Démontrer que la fonction a pour pôle le point -\- i et pour zéros les points

Ecrivons, avec Hermite (-),

TisKis) =£\jj^gj^ = F(.) + G(.).

Ayant choisi, parmi les valeurs de x^~^ ^ nous pouvons poser

Ce qui donne une fonction holomorphe dans LouL le plan. Pour la première intégrale, faisons intervenir les nombres de Bernoulli

L 5 l -1 s Au ( '2 /i ) ! 2 /i -h .V — I J

La série converge pour to << 2-, d'après la relation

{in)\ ('2rj2

F représente une fonction méromorphe admettant les /?o /ca- -+-1,0, — I, — 3, — 5, . . .; r admettant les pôles o, — 1, — 2, — 3, . . ., on voit que >^(5) a pour pôle le point 4- 1 , pour zéros les points — 2, — 4? • • •? et a pour valeur, au point — 2 /i -f- I,

(') On sait que la fonclior. zêta donne des lois asymplotiques, dans la théorie des nombres premiers.

(') Comptes rendus, i885.

Car, en effet, on a

lim (2/1 -h 5 — i)r(s)==

j-2«-M {'in — i)!

Prenons co = i et écrivons encore

Jo ^{e-^-i)\ I /

Sôii

— = h biX ~i- b.2or^.. ■',

Ji = / I ) x^-"^ dx

est bien déterminé pour

h= I ( ^ -i- -)x''^dx

est bien déterminé ponr

Etc.

D'ailleurs, comme pour F, on vérifie de suite que J< , Ja, . . . représentent bien F + G dans les divers domaines fixés pour «^(5).

Ici encore, d'une intégrale nous passons à des séries et de celles-ci à de nouvelles intégrales (^).

(*) Gram, Acta matlieniatica, t. XXVII. — IIermite, Cours, Gauthier- Villars, 187.3. — Heumite et Stieltjes, Correspondance. — N. Nielsen, Zylinder funktionen, igo^j, et Gamma funktionen, 1906, Teubner, Leipzig. — Riemann-Weber, Partiellen Differential-Gleichungen, Vicweg, Braunschweig.

L'équation aux dérivées partielles qui est Ja mieux connue, dans le type elliptique, est V équation de Laplace.

La Physique, aussi bien que la théorie des fonctions analytiques, pose à son sujet le problème de Dirichlet.

La question est énorme; nous ne donnons qu'une esquisse delà solution, après quelques préliminaires sur les Déterminants, les Potentiels de simple et double couche, les Equations intégrales, la Fonction de Green, etc.

liNTRODUCTION.

L DÉTERMINAN'JS.

1. Déduire l'expression du produit de deux déterminants de V étude du système linéaire

{a — À) 37 -h by -h c« = o, (I) l a^x -\-{by--\)y -^ c^z = o,

f a^x -\- b-iy ^ {C'i — X)s = o.

Représentons par P, Q, R les premiers membres de (I) et écrivons le système

/ aP -H aiQ -4- ajR = o,

(II) pP-+-p,Q + 3,K = o,

( TP-4-T1Q+Y2R =o.

Soit D son déterminant.

D'après la règle de Cramer, si D n'est pas nul, le système (II) n'a d'autres solutions que P = Q = R = o.

KQUATIONS DU TYl»I-: ELLIPTIQUE. I o3

Donc, pour D ^ o, les sjslèmes (1), (II) sunt êquhialents. Ecrivons leurs déterminants respectifs

Cl)

aott

+ Yi

Si 3, est nul, (I) admet d^autres solutions que

ce z= y =: z = o',

donc ôo doit être nul aussi.

Donc les équations en À, S, = o, ùo = o, ont les mêmes racines.

Ecrivons que le produit des racines est le même :

aa + «jai -T- «2 2^2 bx -i- biOLi-i- b^oc^ ca + Ci ai -i- c^a^ a [3 -h a, pi -1- «2^2 6p-^ ^it^iH- ^2?i? «T -+- ctr(i-T~ «2 Y2 b Y + bi Yi + ^2 Y2

a ai «2

Y + ^iYia Xi aj

c^H-Ciî^i-HCa^a C'Y + CiYi4- C2Y2

2. Développer, par rapport aux puissances de /i, les déterminants

o -f- ha-n I -f- /îa22 o H- ha^^ o -+- /<a24

o -h hciix o ^- l^cL-it I -4- /'«33 o + ha-y^

o -f- /ia^i o H- /ia^o o -h Aa^s i 4- 7za44

i-f-//rt|i o -h /iai2 o -h Aai.j Z?,

o -i- ha-2\ l H- /<rt22 o -i- /<«23 ^2

o -h ha^i o -i- Aa:i2 i H- /<<733 63

o -4- ACj OH- hCi o -^ /<C'3 o

Développer un déterminant quelconque en vidant la diagonale principale. — Le déterminant A, d'après la

définition même, est une somme de déterminants obtenus en groupant quatre colonnes partielles dans leur ordre. La constante est

Un terme en Ji- est donné par ha-i^ ha^i o o

Remarquons que, si nous prenons tous les déterminants analogues, nous en prenons deux fois trop, car nous supposerions que nous avons à prendre d'abord la colonne i avec la colonne 2, puis la colonne 2 mise la première, avec la colonne i écrite ensuite, etc.

Si donc le symbole y re|)résente une sommation relative à tous les groupes d'indices ij , nous écrivons le coefficient de h-

2 y^ Cl a aij [>2d aji ajj

De même, nous aurons un terme

et comme un système de colonnes ijk doit figurer une seule fois, alors qu'il a |3 permutations de 3 indices^ nous écrirons le coefficient de h'-^

a,i aij «/Aaji ajj aji, a là akj ai, le

ÉQUATIONS DU TYPE ELLIPTIQUE. Io5

Tout ceci subsiste quel que soit l'ordre du déterminant.

2, pourrait aussi bien être une sommation avec indices

non différents entre eux, dans un même système, le déterminant correspondant étant nul.

Procédons de même pour B. Il n'y a pas de constante; un terme en A sera

ha.i o o bi lia-ix I o b-i ha^x o I 63

Un terme en h- sera

liccw ha^'i o bx

ha-ix ha-i^ o bi

ha-^x ba-ii i ^3

hci hc-i o o

Le mineur bordé indique les éléments auxquels s'appliquera la sommation, avec la même remarque que l'on doit diviser par 1 2 pour A-, etc.

3. Mettons zéro, dans un déterminant, sur toute la diagonale principale; nous pouvons le faire en ajoutant ce qui a été enlevé, c'est-à-dire en ajoutant, de toutes les manières, le produit de k termes de la diagonale par le mineur correspondant, vidé aussi. Par exemple :

-^anc

i. Soit bik l^ imaginaire conjuguée de aih] soient les

I06 CIIAPITRK IV.

deux cl é le rmi liants conjugués

Montrer que le produit AB a pour maximum le produit des termes de sa diagonale principale.

(J. Hadamaud.)

Supposons le détermina ni A du l roi si cm e ordre. Les termes de la diagonale principale, dans le |)roduit AB, sont

iNous voulons prouver la relation (i) AB£si52A-a

par la méthode de Lagrange, après avoir établi les relations

ce qui revient à diviser les éléments de la première ligne par y/A<,

Prouvons donc (|ue le maximum de AB est égal à un.

Nous devons dillerencier la fonction

( 3 )■ F = AB — Al 5i — À, «2 - - A3 s-i,

d¥ = \ [BA//, dai/c-r- AB,/, dhu,-— \i{aiu dbik-\- bu, dan,)].

ik

Annulons ceci, d'où ( 4 ) BA,7.- = A/ hik, AB,/, = À,a/A-.

D'après les relations [-.i) et (4), on a

A ^ Ba. l)i,, = X/ ^ «/A ^//o

c'est-à-dire

(5) AB = Xi = ^2= X.-}= A.

Formons le produit des déterminants

en remarquant que (4) ramène ces déterminants aux déterminants A et B. On a

(6) AB=Xfi.

Comparons (5) et (6) :

Le maximum est bien obtenu.

Celte démonstration du théorème de M. Hadamard est due à M. W. Wirlinger (^).