I'héouie du potentiel

1. Potentiel logarithmique de simple couche. — Soit une courbe fermée, plane, sans sln^'ularités, et dont le rayon de courbure est dérivable.

Soit rps la distance d'un point quelconque/^ à un point de la courbe fixé par la valeur s de l'arc.

Soit 1^(5) une lonction continue (densité) attachée à la courbe C.

Le potentiel est défini par l'intégrale prise tout le long de C :

cls.

(Dans l'espace on prend - au lieu du logarithme. )

C) Voir aussi : Ernst Fischer, Archiv der Math. u. Physik, III. Heihe. XIII, qui renvoie au beau livre de H. Minkowski ; Géométrie der Zahlen, 1896.

i" Si le point p vient sur la courbe, en s^^ le potentiel existe encore.

2" Le potentiel est continu quand on traverse la courbe.

Ces théorèmes classiques s'établissent facilement.

Pour le premier, on partage la courbe en deux parties : BMA -f- BA. (y?o-. 9); 5oA et ^qB seront infiniment petits de l'ordre de tj.

Pour le second, même partage, mais il faut avoir soin de prendre s^h. et ^qB infiniment petits, mais infiniment grands par rapport à 5oP, s^V \ par exemple, ^oA. sera de l'ordre de v), 5o P sera de l'ordre de Tj*+^, A > o.

2. Potentiel logarithmique de double couche. — Soit un contour C, régulier {^fig^ 10). Au point M, nous avons

Fig. 10.

une masse — i ; au point voisin M', sur la normale extérieure, une masse + i.

L'ensemble des deux masses crée, en un point P, un potentiel égal à