PM' FM

et MM' -7- 4^ -7— est sa valeur principale lorsque MM' est ^'^ rps

infiniment petit (nous représentons PM par rps). D'après un calcul immédiat

l'angle étant celui de la direction PJVl avec la direction /i, normale extérieure.

Si, en M, nous avions une couche de densité [^(5), le potentiel U', en P, provenant de Parc de courbe MM, = ds^ serait donc

MMX^)

ds^

et pour toute la courbe il suffirait d'intégrer.

Supposons IX infini de telle sorte que MM', jjl = v(5), fini; enfin changeons de signe, U étant <i o lorsque le rayon PM renconlie d'abord la couche négative, puis la couche positive.

Par définition, le potentiel de double couche est {fig. 1 1 )

: 1 V{s)— '-ds.

Traçons l'arc de cercle M.ni de centre P et de ravon PM Fig. II.

le triangle M/^zM, peut être regardé comme rectangle,

d'où

coscp

ii) étant l'angle au centre en P; d'où (')

chops étant positif quand le rayon PM rencontre d'abord la couche négative, négatif dans le cas contraire.

(*) Henri Poincaré, Potentiel newtonien.

1 lO CHAPITRE IV.

3. Théorèmes généraux. — i° Lorsque la densité est constante et égale à i : en tout point i, intérieur au contour, le potentiel double est égal à utt; en tout point s ^^^ sur le contour, le potentiel double est égal cit.] il est nul en tout point e extérieur.

Cela résulte de (4).

2*' Soient Wy, W/, W^ les potentiels doubles en un point 5o, sur C, oti la densité est v^, en un point intérieur, infiniment voisin, et en un point extérieur, inHnlnient voisin ; on a

(5) W,— ^.Trvo^Wo-TTVo-W,.

Autour de ^o, comme précédemment, prenons l'arc AB de l'ordre de y^, les distances 5o /, s^^e étant de l'ordre de r/^'^ (A > o). Puis écrivons (4) sous cette forme

W/, = v., / <iw/,,.4- / (v— Vo)«?Wp5, la deuxième Intéi^rale étant mise sous la forme

AMH

Quand /; occupe les positions /, 5„, e, la première intégrale a les valeuis