Vo, TTVo, O

En ces trois points, les valeurs do ,) sont infiniment voisines, quand les points sont infiniment voisins.

Enfin, dans j figure la fonction (v — Vq) qui, v étant continu, est infiniment petite avec l'arc AB.

D'où la formule (5).

On peut écrire ce résultat ainsi :

J^ ' du ^ /•„„

On le traduira ainsi : le potentiel double est discontinu sur le contour, tandis que le potentiel simple est continu.

4. Dérivée normale du potentiel de sim,ple couche {fig. 12). — Soient un contour G et une direction \. Si P vient en P', effectuant un déplacement <iX, nous avons une variation de potentiel

Jr \ 'p's 'psj

'C \ 'PS ' ps.

Au contraire, laissons P fixe et donnons à la courbe C la

Fig. 12.

translation — dCk\ nous avons la même variation, puisque PSF=FM, d'où

Supposons jjl(5) dérivahle et intégrons par parties. La partie intégrée est nulle et il reste

en posant

r ps t/c "^ rpg

V = fjLCOs(n, X),

P = ^[[^cos(5, X)].

ds.

112 CHAPITRE IV. HKI

La première intégrale est un potentiel simple, la seconde ^^1 un potentiel double.

Supposons que \ soit la direction de la normale inté-

Fig. i3.

;So

rieure {fig- i3) au point 5o sur C. En ce point la formule (6) donne

Je potentiel double étant atî'ecté du signe — et le potentiel simple étant continu.

Les formules (6) et (7) donnent encore

ds.

Il est bien entendu que ris est la normale intérieure au point mobile s de la courbe, n^^ étant la normale intérieure en 5o, qui est fixe.

On a

<i j I coso

D'où, pour la demi-somme, la valeur :

^221^ds [w = 7r — t]; (yî^. I4)].

ÉQUATIONS DU TYPE ELLIPTIQUE. Il3

Nous observons, d'ailleurs, que :

COSOJ d ^ I

r\s ~ dris^ '^ rss, ' Pour éviter toute confusion (Jig. 14)5 nous désignons

Fig. r4.

par un accent la normale intérieure :