I -^c ''-^'o* ^ dn,J ^ \dnsJi

J'ai suivi le mode d'exposition de M. Darboux [Cours de la Sorbonne, 1907); M. Plemelj a établi la deuxième formule (8) en 1904 [Monatshefte fur Mathem. und Physik) et M. Picard en a donné une élégante démonstration (Ann. de i^ Ecole Norm. sup., 1906).

o. Dérivée normale du potentiel de double couche. — Soient la normale en ^o, sur cette normale deux points /et e. Quand ces deux points deviennent infiniment voisins, la difTérence des dérivées du potentiel doub^^ suivant la normale n^^ devient infiniment petite. Les potentiels simple et double ont leurs propriétés inverses l'une de l'autre. Montrons-le.

Prenons pour origine le point 5y et la tangente pour axe des X {fig- i5).

Décomposons toujours la courbe fermée en deux parties, OA et OB étant de l'ordre de yj, qui tendra vers zéro, et soient deux points sur la normale, de cotes ± A, h étant de l'ordre de t/+* (A >> o)

Fig. i5.

Soit W le potentiel double

W = W'-hW", w étant relatif à l'arc AOB et W" à l'arc BMA.

Bien entendu, comme précédemment, -yT^^\h — ^"-h) tend vers zéro avec r,.

Il reste à étudier la différence relative à l'arc AB, qui deviendra infiniment petit :

W'+/j= / v(a7)<iarc tang-^

(nous pouvons toujours supposer l'arc confondu avec la tangente, AB devant tendre vers zéro). Écrivons, avec M. Darboux [Cours de 1907),

dh

en posant

V étant continu, si le module de/ reste fini, le théorème est établi.

ÉQUATIONS DU TYPE ELLIPTIQUE. Il5

Pour

x^ Nous pouvons remplacer y par K — , y' par K^,

|)uisque AB va tendre vers zéro. Annulons la dérivée de / |3ar rapport à x, ce qui donne

— ^x(x -I-JKJK')] — i'îh^y--h %h^xyy' = o.

Aux environs de l'origine, la dérivée s'annule pour ,r = d= y/3, -l'ensemble des termes d'ordre moindre étant

Ecrivons f sous la forme j—^ , ^^;^w , ,^ ^', on voit

que ces points dz Ay/3 sont des maxima et minima, finis, car y contient h* au numérateur et au dénominateur.

Donc, h tendant vers zéro, les deux dérivées normales ont même limite.

[Nous avons supposé la densité dérivable ci y (x) trois fois dérivable. ]

EQUATION DE LAPLAGE.