Les Jonctions de Green. — Nous cherchons une solution de

en fonction de certaines données portées par un contour fermé G, régulier, dans le plan œOy. Appliquons la formule de Green, avec une fonction V, harmonique, infinie au point (a, 6),

'• ^ sl^x-aY-^^y — b)-^

Ilf) CHAPITRE IV.

Un raisonnement classique donne de suite (')

.uK.)=r(.--v-)..

Il semble que le problème de Cauchy soit résolu, avec les données portées, non par un segment ouvert de courbe, mais par une courbe fermée.

11 n'en est rien.

Une solution de (i) vérifiera l'équation (2), mais n'est pas donnée par (2).

Il suffît, en efiet, de remarquer que la valeur de U, fournie par (2), ne converge pas à la frontière, c'està-dire ne tend pas vers la valeur donnée au point M de G quand le point (a, b) tend vers M.

Parce que la courbe G est fermée, la démonstration du théorème classique de Gauchj-Kow^alesky ne vaut plus et l'on sait aujourd'hui que deux problèmes sont résolubles :

le PREMIER PROBLÈME DE DiRICHLET, OÙ l'ou donnC U SCul

sur G; le second problème, ou problème de NeumAjvjv, où

VA d{} .

J on donne -7— seul.

an

Regardons la formule (2) et so\i\di fonction de Green: G = V-hH.

V est le logarithme précédent, H est régulière et harmonique dans toute l'aire, G s'annule sur le bord de Taire; alors

..u(«,.)=/;uf^.

En général, d'ailleurs, ibrmer G est exactement aussi difficile que former U; mais, dans des cas simples, G est facile à écrire.

(') E. Picard, Traité d'Analyse, t. II. — C. Jordan, Cours d'Analyse, t. II.