U(o,o) = / U(4')^4' (intégrale de Poisson

o. Unicité de la solution. — La dernière formule montre que les maxima et mininia d'une fonction harmonique (dont les dérivées secondes sont continues (sont situés sur le bord du contour C. C'est un théorème capital dont nous donnerons une démonstration élémentaire.

Si donc une fonction de cette sorte est nulle sur C, elle est identiquement nulle dans l'aire G; d'où l'unicité de la solution.

Une remarque s'impose. Donner U sur G, c'est donner, par exemple,

S élant l'arc de courbe, ou

si ïx et ly de G son! donnés en t.

Cette donnée ne doit offrir aucune sorte d^indétermination, même en un seul point, sinon le théorème ne vaut plus.

Stieltjes (<) donne un exemple d'une admirable simplicité. Soit

Sur le cercle de rayon i, on trouve

est nul sur ce cercle.

C'est une fonction harmonique qui devrait être identiquement nulle dans Taire. Or cela n'a pas lieu, parce que. au point ^ = — i,y=o, P prend des valeurs dépendant du chemin suivi pour arriver à ce point.

Ainsi le théorème d'unicité exige que la donnée soit bien déterminée au voisinage intérieur du contour (-).

6. Comparaison des fonctions harmoniques et des fonctions synectiques. — Toutes nos formules sont identiques, au fond, à celle de Gauchy :

. „. , rf{z)dz

Donc, de même que f(z) est développable en série de Taylor, P(x^y) etQ(;r,jK) sont développables.

Si f{z) est partout régulière et que son module ne croisse pas avec |^|, c'est une constante (Liouville). Même théorème pour P(x^y).

(') Correspondance d'Herniite et Stieltjes^ 2 vol.; Gauthier-Villars. (-) Thèse de M. Painlevé {Ann. Fac. Toulouse, 1887).

no CHAPIIRK IV.

Ui)e série de fonctions harmoniques P„(:r,j^), uniformément convergente dans une aire, a pour somme une fonction harmonique (Harnack). Même théorème pour une série de fonctions svnectiquesy„(2) (Weierstrass).

7. Symétrie de la fonction de Green. — Soit G(6r, b^x^y) la fonction de Green nulle sur le contour G et infinie en (a, b) intérieur à G. Prenons un second point intérieur à G, (a, , bi).

Appliquons la formule de Green aux deux fonctions G(<2, b, ^5 y), G(ai, 6,, x^y) et au contour formé par G avec un petit cercle y de centre (a, b) et un petit cercle y, de centre (<2|, 6,) : nous avons de suiie

G(a, 6, «1, bi) = G(ai, bi, «, b).

8. Remarque sur l'unicité des solutions. — On doit se méfier des généralisations superficielles. Soient les équations

(2) ou-hk'^u = o (A-2>o).

On donne u sur un contour fermé G.

Dans ces conditions, la solution de (i) est déterminée. Posons, avec M. Paraf (Ann. de la Fac. de Toulouse,

t.VJ),

a- — œ- étant positif dans la région (G), (i) devient («2 — ^2) 5p ^cc ^v — k^(a^—x-) i^ — o.

Si, dans (G), (^ avait un maximum positif ou un minimum négatif, ceci donnerait

— A2 = o ou -h A2 = o.

Il y a contradiction. D'oià Vunicité.

Pour (2) il n'en est pas ainsi. En effet, (2) admet la

solution

/f2r2 X:*r* Ae/'C

h(fcr) = i

or la fonction de Bessel a des racines réelles. Donc (2) admet des solutions nulles sur une circonférence et non identiquement nulles.

L'ÉQUATION IINTÉGRALE DE M.. FREDHOLM.

1. L'équation de M. Fredholm, si importante, en ellemême, doit être étudiée ici, à cause de son rôle dans les Pioblèmes de Dirichlet et dans maint problème de Physique.

L'équation intégrale linéaire est la suivante :

(i) cp(^)-t-X Ç f{x, s)o{s)ds=.^{x).

^(û:) est donnée ainsi que f{x, s), et nous chercherons V expression de o{x) en regardant la quadrature, dans (i), comme limite de somme.

On peut écrire

P(.,.),(.)...= lijn/f/(.,^)o(gi.

L'équation (i) étant ainsi transformée, en regardant n comme fini, d'abord, écrivons que cette équation transformée est vérifiée pour les valeurs

D'oii {n + i) équations aux [n -{- i) inconnues

Nous posons

Le système s'écrit alors

ou bien encore

IH- //«i,

ha,^

/t«.ri

D'où

ha m

/ia.2„

hn

haxn

4^(07) -cp(a7)

2. Étudions ces déterminants Kn el B„, que nous avons déjà développés :

lia^ I ... ....

lia„\ ... IH- /ia,i„

h^au+-^^

au atj

au ajj auc aji ajj ajk aiii ai;j auk

Et, comme A = — > nous avons n

Lorsque n devient infini, chaque somme a une limite^ qui est une intégrale, la premièie

la seconde

dxi dx±.

Etc.

D'où une série en \. Si elle converge, nous écrirons

lim B„= D/(X).

Étudions le numérateur. K,i est une somme de termes de la (orme

hi>

On peut passera la limite, pour /i = go, pour chaque somme : nous obtenons des intégrales multiples. Nous représenterons /(.r^, Xq) par

. • <^aia,,

et

par

/dxy I dxo. . . / dxj

Le terme de rang/?, dans lim A,/ (nous admettons, pour l'instant, la convergence de la série en X), sera

(XiXt) ... (XiXp) 4^(xi)

{x,Xi) ... (372^7^) ij^CiTo)

{x,,xi) ... (.r,,a7/,) tl(;r,,)

(j-a'-i ) ... (xx,,) o