Une REMARQUE CAPITALE cst la suivanle

Développons le déterminant par rapport à la dernière colonne et intégrons ; nous obtenons p ternies identiques.

Écrivons le premier :

dxi

{XiX^) .

. {OC^Xp)

{XpX^)

{XpX^) .

. {XpXp)

{xx.^)

{xxi) ..

. {ocxp)

Écrivons le second :

T2 = -i(-i)/> f ^{x^)dx.,

{x^xi) (x^x-i)

l,3,i, ...,;> {XpXx) ioCpXc,) ..

{xxi) {xx^)

i^i-rp)

Dans le terme Ti , faisons .^2 = ?< , puis ^, = ^o ; alors T, devient

pf ^a.)d^2 § A

et A est le déterminant de T2, au signe près : deux colonnes sont échangées et ^, est remplacé par $,, x^ par Ço-

Deux signes — se détruisent, le nom de la variable d'in-

tégration ne signifie rien

/ f{x)dx= / f{y)dy.

DoncT, = T2.

ÉQUATIONS DU TVl>E ELLIPTIQUE. 125

Faisons remonter la dernière ligne au premier rang :

Up=—P

• «Va

(ces) {xx^)

{X^S) {X'iX^)

{XpS) {XpXi)

(xxp)

(x^Xp)

( Xp Xp )

On peut enfin remplacer

(XiXs.. .Xp)

►ar

{XiX^...Xp-i).

D'où le terme général

X / ^{s)ds

iP-

(XS) (XXi) (XiS) (^l^l) (XçiS)

(xxp-i)

(Xp-iS) (Xp-iXi) ... (Xp-iXp-i)

4. jNous écrirons donc, s'il y a convergence, limA,i = — X / DfCk, x^ s)^{s) ds,

et nous aurons

Cp(a7)= ^{X)

Telle est la voie par laquelle M. Hilbert (*), dans ses.

(') M. D. Hilbert a obtenu de très beaux résultats dans cette théorie. Voir ses travaux, cités plus loin, et ceux de MM, Otto Toeplitz et Ernst Hellingkr, sur les formes quadratiques à une infinité de variables.

Ceci se rattache aux équations linéaii-es à une infinité d'inconnues

remarquables Travaux, arrive à la célèbre formule de M. Fredholm.

o. Convergence des séries. — Il faut voir que D(X) et D(X, x^ s) convergent. Or, ce sont des fonctions entières de \^ comme on le voit aisément par le théorème de M. Hadamard sur les déterminants, et en emplo^'ant la formule <le Stirling. La solution est donc méromorphe en \.

THI.ORKMKS FO.XDAMENTAUX DK M. FREDHOLM.

Donnons quelques indications sur les principaux résultats du célèbre Mémoire de M. Fredholm. Le lecteur reconstituera les analyses que nous esquissons.