Nous posons, d'après ce qui précède

, . . . , '^ Il

/(^2,ri)

f(^uyn)

fi^'nyi) JX^n,yn)

^, Xi, x^

Développant le terme général de Dj, nous avons n termes identiques, et un autre :

\n U \X^,Xi, ...,Xn

' — 1.2 [il — W

Xi, X^i . • • , ^n—l

(Travaux de MM. IIill, Poincare, H. von Kocii. — E. Sgumidt, Cire, di Palermo, 1908) ot aux fonctions implicites en nombre infini : Note de l'auteur, {Soc. math, de France, 1908). — Nous supposons /yZnf; M. fredholm et M. Hilbert traitent aussi le cas ou le noyau f{x, s) est infini, dans cerlaines conditions.

D'où la formule

(FO D,(^^^ = Dx/(^,ri)-Xjr/(^,T)D,QrfT.

En développant le déterminant par rapport aux éléments de la première colonne, au lieu de la première ligne, nous avons la formule équivalente

La comparaison donne

2. Ceci permet de vérifier la solution obtenue, par une sorte di itération. On écrit

et, sous le signe,

(-2) cp(.0 = ^(5)-A / p ' ^{t)dt.

En vertu de (F), (») se réduit à l'identité

D f f(x,s)^{s)ds = D Ç f{x,t)^{t)dt.

Nous avons supposé D ^ o.

3. Soit Ao "ne racine de la fonction entière D. M. Fredliolm a obtenu la forme de la dérivée —^ — en introduisant de nouvelles séries :

On a, de suite,

Développant le déterminant du terme général, dans D„, suivant la première ligne, et intégrant, avec les mêmes remarques, M. Fredholm obtient

(ci>,)( V'^2, ...,^.y

Intégrant encore, en développant le déterminant suivant les termes de la première colonne, on a, de même,

\ \iQi, '^12, . •., -^«y ^0 \T, 7)2, . .., iri,t/