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et nous avons /i solutions que nous représentons par L,,

l3o CHAPITRE IV

Lo , .... Lt,i :

o. Montrons que toute solution de (3) est une combinaison linéaire, à coefficients constants ^ des solutions L. — (Nous suivons exactement l'exposition de M. E. Picard, Cours de la Sorbonne, 1906.)

Etablissons un lemnie :

Soit (3,) l'équation (3) où. f{oc^y) est remplacé y g étant quelconque y par

>y S'(^,^)f{-^,y)dz.

Toute solution de (3) satisfait à (3i). — C'est une vérification immédiate; on est ramené à l'identité

/ l/r{^,'-^)f(',y)dzdy=l j g{x,y)f{y,x)dydz. Donc, au lieu de (3) nous écrivons

(6) o{x)= — \, f Y{x,y)'^{y)dy.

Or, pour pouvoir employer la formule (<I>3), prenons

Nous avons, d'après (<l>a), le second membre de (5), d'où

(7) Y{x,y)=^f{l,y)hi{x).

ÉQUATIONS DU TYPE ELLIPTIQUK. l3]

Portons la valeur (7) dans ((')),

?(^)=2AiL/;

A/ est indépendant de x. JNous renvoyons à M. Fredliolm pour la preuve de l'indépendance des solutions L Etudions maintenant l'équation (4).

6. Conditions relatives à un pôle \q de la solution primitive. — (4) peut avoir une solution, si n conditions sont remplies. (3) étant résolu, nous avons donc une infinité de solutions, pour (4), s'il j en a une.

Ecrivons les équations

(III) g{T)-^\o f f{oo,y)g(y)df = o,

(III,) h{x)--r\, f Ay,x)h{y)dy =0.

Les D^ sont les mêmes; donc on a les mêmes pôles Xq et le même nombre de solutions; soient L celles de (111) et M celles de (111,).

L'équation (4) donne

( f ^{œ)Ui{x)dx-^''i% f ff{x,y)<^{y)Mi{x)dxdy

I = / Mi(x)^{x)dx.

Le premier membre est nul^ d'après (HL). Donc on doit avoir

(10) o — ai~j Mi{x)'l{x) dx.

Ce sont les conditions.