Si elles sont remplies on a la solution

(11) ^{x) = '\>{x)-\-\o f gix,x)'i^(-z)dx,

l32 CHAPITRE IV.

L,' ayant été défini précédemment :

Faisons la vérification, en portant dans (4) la valeur (i i). Il vient à vérifier

0= f ^{y)Tdy, T = g{x, y) + f{x, y)-^ \^ f ^/(x,-.) gix, y) di

Reportons-nous à (111), où nous remplaçons /(a?, y) par y, (^, y) [qui sera identique à y(y, ^)].

Nous avons donc les solutions L^- (^) [cpii deviendront Identiques aux M/(.r)].

Or (^) donne, g^ étant quelconque,

Si maintenant nous faisons (i3) deviendra

= /(r»-^)-+-.^(jK,^)-i-Xo / g{x,x)f{y,'z)dz. On peut échanger ^ et r, d'où

Alors, cii étant nul, il est immédiat que (12) est vérifié. Tel est le résumé des principaux résultats de M. Fredholm.

Disons un mot des applications.