Problème de Diriclilet, intérieur. — On a

Wi est connu, l'inconnue est v(5), v est donné par une équation de Fredholm, d'où la solution, par un potentiel de double couclie, à l'intérieur du contour fermé G. Nous avons l'équation de la forme (4), avec X= i :

V(5) + A / v((T) Ld7—-

L est la longueur du contour, s un point /ia:e, cr un point mobile, du contour. 11 faut qu'on ait D(i)^ o. Mais, si l'on avait D(i) = o, l'équation

, . r . I cos

de = o

aurait une solution non nulle.

On peut prouver l'impossibilité de ceci, donc l'impossibilité que le point un soit un pôle Aq.

(cp est l'angle de la normale extérieure au point o- avec le rayon /* qui va du point s au point o-.)

Il suffit que le contour portant la donnée ait un rayon de courbure lipschitzien pour que le problème soit aussi

l34 CHAPITRE IV.

immédiatement résoluble (T. Lalesco, Bull, des Sciences math,, 1907).

Par des représentations conformes, M. Darboux, dans son Cours (igo'j), a résolu le problème pour des contours présentant certaines pointes.

C'est un résultat très important.