Problème de Neiimann, extérieur, — \'T
connu; l'inconnue \y.{s) est donnée par une équation de Fredholm, d'après la relation
/d\\ r cos<l ^
La solution est un potentiel de simple couche. Même impossibilité, d'après les théorèmes classiques, que l'équation sans second membre soit résoluble. Donc ce problème extérieur (X = 1) est résoluble.
[tj; est l'angle de la normale extérieure au point s avec le rayon qui va du point 5, fixe, au point a, mobile (').]
L'équation est
Cl<S = '
Problème extérieur : X Problème intérieur : A
(*) UonQ, coscp et cos4' sont deux fonctions de la forme /(s, u) et /(a, s). D'où la condition connue, pour le problème intérieur de Neumann,
— — ds = o. j, an
Mais il y a toute une discussion délicate sur la réalité et la multiplicité de la racine X^, discussion qui exige la connaissance des travaux classiques sur l'équation de Laplace, en particulier de ceux de M. Poincaré {Circolo di Palermo, 1894; Acta mathematica, t. XX).
Nous n'avons pas à rappeler ici les différences entre les problèmes de Dirichlet pour ïeplan et pour Vespace (travaux de lord Kelvin, etc.).
Nous renvoyons aux Ouvrages de M. Picard et à une Note finale de ce Livre.
3. Pour le problème de Diriclilet, extérieur, ou le problème de Neumann, intérieur, il y a une solution de l'équation sans second membre, et l'on retrouve la condition de possibilité connue. Nous ne pouvons qne renvoyer aux travaux, déjà nombreux, sur ces sujets (*).
Indiquons simplement l'application aux équations différentielles.
4. Equations différentielles linéaires. — Une équation différentielle d'ordre n peut être intégrée avec les conditions de Cauclîj : on donne
ou bien encore, on peut donner n points de l'intégrale
Dans ce cas, nous avons une équation de M. Fredholm; on le voit facilement.
Soit
L'adjointe C sera
Soit an la l'onction A/i(t), A^ étant A/<(^)« Soit
(') Citons : I. Frkdholm, Acta matheniatica, t. XXVII. — D. Hilbeut, Naclirichten zu Gottingen, 1904-1906. — E. Picaiid, Annales Éc. Normale, 1906. — J. Plemelj, Monatsiiefte fur Math, und Phys., t. XV €t XVIII. — Eriiaud Sgiimidt, Matheni. Annalen, t. LXIÏI et LXIV^ — On consultera îiussi le résumé du Cours de M. Picard, 1906, dans les Rendiconli del Circolo di Palerino, Î190G, et la Tlièse de l'Université de Paris de M. Bryon Heywood (Gauthier-Villars, 1908). — Il faut noter que MM. Ililbert et Schmidt donnent des solutions entièrement nouvelles de réquation de Fredholm.
l36 CIIAPITRK IV.
Nous posons
Soit C}//f(^) un polynôme en .r, de degré (/i — i). Ecrivons V équation intégrale
Ci) Q„i(a7)=jK(:r) + À I' 1{x, t) y{t) dt.
'- Il
En dérivant /i fois, on a
o=jK''(^) + À[(-0" ■UA,r)"-'^'---+A„j-j.
Le terme entre crochets est V adjointe de vL' ; donc c'est identiquement E.
Donc (i) équivaut à (2),
( 2 ) > ■■ -^ A {p , jK'^-1 -+- p-2 y"-- + ... + /?„ r )= o,
et nous déterminons (') le polynôme Q par la condition, par exemple, que y s'annule |)0ur x =^ a^ «o, ..., a,i. Nous aurons encore une équation du type (i).
Note. — L'extension au cas où l'inconnue est
0{Xi. X.2, . . ., Xp),
avec une intégrale />-uple, est immédiate : solution méromorphe en)^; en un pôle Xq, solution de l'équation homogène et, avec.des conditions, de l'équation donnée, à second membre.
(>) Batkman, BuU. des Se. matli., lyoG. — M. Mason, Mathemalisclic Annalen, l. LVIII. — D. Hilbert, loc. cit. — Sur les questions de ce genre, voir les beaux travaux de M. Picard, Traité d'Analyse, t. III, •2" édition {sous presse), par les approximations successives.
ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE
[^e lype elliptique correspond niix caractéristiques imaginaires, le type hyperbolique aux caractéristiques réelles, Je type parabolique aux caractéristiques confondues.
Le premier type a été étudié précédemment, pour l'équation la plus célèbre, celle de Laplace.
Nous étudierons quelques cas hyperboliques et dirons un mot du cas parabolique. D'abord quelques remarques sur les théorèmes généraux d'exislence et sur les caractéristiques, multiplicités d'exceplion, relativement à ces théorèmes généraux; siiv \a par tic Jinie d'une intégrale; sur la notion d^ adjointe ; un problème fonctionnel, etc.
