I. Sun LES THÉORÈMES d'eXISTENCE

Le principe de Dirichlet est là pour nous en avertir, et nous avons bien vu que les solutions des équations différentielles ou aux dérivées partielles peuvent être formées avec des conditions aux limites très variées.

Revenant au théorème de Gauchy, faisons une remarque pour le cas où les fonctions cessent d'être JiolomorpJies.

Le cas le plus simple est celui de Briot et Bouquet :

xy' =1 ax -\- by -h . . . .

Si b n'est pas entier et positif, il y a une solution holomorphe à l'origine. On le voit en écrivant

.ry' — by =^ax-~-o{x,y),

i38 ciiaimtrh; v.

et en comparant y à \^ fonction implicite z donnée pai

(0 est Je minimum de \n — b\ (/i = i , 2, 3, . . .). Le cas le plus général

xmy' __ ^^ } If y 4- , . .

donne lieu à beaucoup de distinctions et de discussions difficiles (').

M. Goursat a étendu l'application du calcul des limites aux équations aux dérivées partielles, alors que, précédemment, on employait l'artifice du jacobien, pour prouver le théorème de Gauchj.

D'ailleurs, le Calcul des Limites donne aussi bien de nouveaux types de théorèmes d'existence. Soit

(1) s = ap -^ bq ^ cz -^f.

On peut donner z seul, mais sur Ox et sur Oy. Supposons z nul sur les axes, ce qui ne change pas la forme de l'équation, et prenons d'abord

(2) s = cz;

c a pour majorante

Soit /• le plus petit des deux nombres 11, -— : ^ ' /M

Prenons pour majorante

( ' ) E. Picard, Traite, t. III, 2' édition {sous presse).

ÉQUATIONS DKS TYPES IIYPIiRBOMQLE ET l'AH MIOLIQUE. I Sq

La fonction u = —, : satisfait à l'équation

Ox dy

Nous avons donc une solution, holoinorplie autour de l'origine.

En posant z^=uv^ on ramène l'équalion (i) à deux équations de la forme (2).

Les théorèmes les plus généraux, dans cet ordre d'idées, sont dus à M. Goursat et à M. Riquier (' ).

Remarque. — Il faut bien veiller à ce que toutes les conditions soient remplies, dans l'application du théorème de Cauchy.

Nous donnerons l'exemple suivant, dû à M'"*' de Kowaieskj (2). Soit

d-^z ùz dj^ ~ dx'

Nous pouvons, sur O^, donner

-^ ïT:r/i'(-^) + iT^r— r/2(^) -+-• • ••

Telle est la solution, convergente. Imaginons que l'équation donnée est du premier ordre en x et donnons-nous, sur Oy,

(') Voir E. GounsAT, Soc. matli. de France, 190G. — Leçons sur les équations aux dérivées partielles, 3 vol. (Hcimann). (2) Thèse {Journal de C relie, t. 80).

l4o CHAPITRE V.

Ceci n'est une solution que si (d vérifie certaines conditions. Soit une valeur j'o; si autour de ce point o(y) a 1111 rayon de convergence fini, il est impossible que (2)

converîre croit avec n

\ lia

Prenons (i) et faisons x = o :

Et, comtne on a

I «//. 1 et I ^« 1 < j^, '

^(O, y) est une fonction entière. Donc '-^(y) doit être entière. Soit donc donné

entière :