Sur l'hypeiigi':omi':trie

On a souvent besoin de parler ]e langage géométrique, alors même que le nombre des variables est supérieur à trois. Il n'y a là, dans l'Hjpergéométrie, aucun mystère pour le mathématicien.

Par exemple, on dit que, dans l'espace à n dimensions,

/(a7i, a?2, .... Tn) = o représente une surface et une intégrale n-uple un volume.

EQUATIONS DES TVPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. 14 [

Il n'y a là qu'une langue commode qui aide l'iniagination et favorise la découverte. Il y a là la source d'analogies fécondes, mais aussi, parfois, trompeuses. Il faut donc constamment faire suivre l'image de la construclion analytique.

Prenons un exemple. Soit le cône

il découpe trois régions, l'une exiérieare, qui ne contient pas l'axe 0:3, et deux intérieures, l'une à cote positive, l'autre à cote négative. Il en est de même pour les cônes

dans l'espace (^ -h i)-uple.

Au contraire, dans l'espace (/> -f- i)-uple, les cônes

ne découpent que deux régions (* ).

Pour une surface, quel qiie soit /i, on sait qu il faut, en certains cas, examiner si elle a un seul côté (-). Ceci ne dépend pas de n.

Faisons quelques extensions immédiates.

Soit une surface S

et une surface 2 Posons

Pour que S et S aient, en un point, un contact d'ordre /i, il faut et il suffit qu'en ce point W et toutes ses dérivées d'ordre 1,2, . . ., « s'annulent.

(') J. CouLOX, Thèse (Herrnann, 1902).

(2) E. PiCAHD, Traité, t. I, p. 1^4

i4'2 ciiai'Itrh: v.

D'où le plan tangent à S, soit

A,(X,— ^i)-h AsfXî— a"2)-f-. ..+ A,i{X,i—Tn) = o,

A » = J 1 = -rr— j . . . •

L)(«,, Ma, ..., M„i) Les cosinus de ia normale à S seront

L'élément de surface sera

dtù = y 2 J/j dui dii.2 . . . du,i-i.

lia formule de Green subsiste.

Il n\' a rien à changer à la théorie du changement de variables dans les intégrales (*).

Mais voici une question nouvelle.

Dans l'espace à 3 dimensions, nous avons :

Variété à i dimension = ligne, » 9. dimensions = surface,

» 3 » = volume.

Avec 4 dimensions, nous avons du nouveau, savoir les variétés à 2 dimensions , qui ne sont ni lignes, ni surfaces.

M. Henri Poincaré définit leur aire de la manière suivante (2) :

Plaçons-nous dans E3 (espace 3-uple).

Nous pouvons définir le ds d'une courbe G en regardant la surface-canal, enveloppe de sphères de rajon e ayant leurs centres sui- G.

L'élément de k (ABA'B'), situé entre deux sections normales PQ, P'Q', a pour mesure

AV> X A/V = dio, AB = £ rfO, A A' = ds,

(') Cours de M. Jordan et de M. Baire. (') Acta mathematica, t. XXII, p. i^'S.

ÉQUATIONS DKS TYPES nYPIiRlJOLIQLE ET PARABOLIQUE. l43

d'où

dto

rdîi

Faisons de même, dans E,, poiii' obtenir la mesure de l'élément de Vo, variété donnée par

1ms. 17- Fis. 1-8.

Les sphères ayant leur centre sur Vo ont pour équation

Pour avoir l'enveloppe, décrivons en t^ et /^

\ri do/-

Dans E3 nous pouvons déterminer la position du point A,, sur l'enveloppe, par l'angle B rapporté à deux directions rectangulaires ç, y, de la section PQ, liées à cette section; ^ a pour cosinus a,, 7.0, ag, et y,, fi,, [Bo, p3-

Dans E4, posons, de mêmt',

(2) et (3) sont satisfaites par les formules (4), quel que soit B, si l'on a

in^ V <^?A; V^ ^ àoi

• 44 ] les cosinus sont

La droite analogue à MA est bien la normale à k dont

•^/r— '-SA-

En effet :

i" La somme des carrés est uji ;

Otn

Il suffit de dériver (a) en th et en 9 et d'ajouter (3). Nous avons donc, d'après les notations précédentes, les éléments J^^, Jq de la surface k,

£ Jo

ai cosG -h ^^ sinO,

-i- = Ji{a,Y-+-pia) (y

cosO, îT = sin6)

ou bien

Jo=^J/<-(a/.Y -^ ?/.^)r

ou bien encore Ja est un déterminant

dx,c dxi, dxi,

-ôï: 17; -w «'^T-^i^^'^

O^* Tr(^/( — ^k) contient s en facteur. Gomme nous prendrons e infiniment petit, nous pouvons ICI remplacer -- — par -î— et écrire

Jo =

dti dt-i

e(-a/,cr-+-|ii;r.Y) a/,Y + ^y^.

C'est une somme de quatre déterminants, dont deux sont nids, et, comme o-2-}-y-= i, il reste

Jo= e

Formons Jj; ; c'est un déterminant qui, d'après les rcla

EQUATIONS DES TYPES IIVPEUBOLIQUE ET PARABOLIQUE. 14')

lions (5), (6), est égal à une somme de carrés de mineurs

soit

Donc Jq est connu, et nous écrirons

Jo=£Ao.

L'élément d'aire de k étant zÈiL^i dt^ dt^d^-, celui de V^

sera

t^^dt'^dt-i.

Sur les CARACTÉRISTIQUES.

D'une manière générale, ce sont les variétés exception nelles relativement au théorème d'existence de Cauchy. Prenons le cas le plus simple, les équations linéaires. Equation d'ordre n à deux variables :

An -T 1- Al ; T-

<I> ne contenant que des dérivées d'ordre moindre que n. Sur une courbe G, on donne

âz dz d'-z '^'' dx df âx'^

■2j PlOi Poil PiOi •••: Pon-l'

Pour obtenir les dérivées d'ordre n, écrivons

dpn-io = Pno dx -^p,i-\\dy, dpn-i 1 = Pn-\ I dx -^-pn-ii dy ,

dpQn-i = pui-\dx -^PQn dy.

Le calcul est possible, à moins que A ne soit nul T X o o . . . o

o o Ao A,

X = ^ dx

(-i)"[AoX«-A,X«-i— ...

En chaque point nous avons n courbes, correspondant aux racines X^, \^^ . . ., X„. Ce sont les caractéristiques. Or, on vérifie facilement que l'opération

\dx

"" dy] \dx

ày

)"\àx ' ^' dy)

reproduit Le premier membre de l'équation (i), en j ajoutant des termes avec des dérivées d'ordre moindre que n. D'où, pour(i), la forme canonique, permettant les approximations successives,

ày

[Thèse de M. Delassus (Ann, Éc. Norm., 1895.)] Pour la théorie générale des caractéristiques, nous renvoyons à M. Goursat.

Equation d^ordre 1^ à n variables. — Prenons, pour simplifier l'exposition, /2 = 3; soit l'équation

Pik

Pki\

Pikh =

dXi' ^''^ dXiôXk ^'"' '^"'" dXiOx,,ÔXu'

Les données sont portées par la surface frontière S :

dx, ~ ''

dx-2 ^ ' dxi dXi

= Pi2:

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l47

On donne, sur S, les valeurs de z. Sur S, z{x^, x.^i x.^) devient ^(^i, x^)^ fonction connue des deux variables

Chaque fois qu^il sera nécessaire de spécifier nelteinenl qu'une fonction de trois variables se réduit, sur une surface, à une nouvelle fonction de deux variables, nous l'indiquerons par ce trait : z.

Dans (i), /ne contient que des dérivées de z d'ordie i, au plus.

Pi dépend de trois variables. Ghei'chons sa valeur /?/ sur S.

Nous n'avons qu'à écrire

(I) — ^ = fonction connue =/?/-i- P,/?;j (t = i, 2).

Donc si, sur S, outre z^ on donne /?3, on connaîtra p^ et p-^-, valeurs sur S de p^ et/?2'

Montrons qu'on connaîtra toutes les dérivées de tout ordre :

-^ = fonction connue = pid-r- ^i P/,3,

(i = [, 2; A- = I, 2, 3), d'où

H suffira de connaître p^^. Or, l'équation (i) donne alors

(•^0 Hj^H-K = o,

ayant posé

H =2 «/aP/I'a— 2 «t3P/-H«33,

l48 CHAPITRE V.

2, indiquant que i et k prennent seulement les valeurs 1,2.

Si l'on a H = o, on ne peut calculer ni /?33, ni p^^^j etc. C'est l'équation des surfaces caractéristiques obtenue par J. Beudon (*).