ET LA DÉRIVÉE CONORMALE

L'idée fondamentale est duc à Lagrange.

Soit

On appelle adjointe

On a la propriété caractéristique

' ^ âx ày qui se vérifie de suite, car

dérivée d'une fonction de u^ (v, et les (A — i) premières dérivées.

Faisons

et nous avons

dx'>- dyi^ dyi'^ dx'^ dx

(') Voir Bagklund, Mathein. Annalen, t. XIIT. — J. Bkudox, Soc. math, de France, 1896. — J. Coulon, Thèse, 1902. — J. Hadamard a complété la théorie de Beudon {Leçons sur la propagation des ondes, Hcrmann, ï^o3).

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l49

Changeons a en v^ x en y, h en /r; nous avons une équation analogue, d'où

u -TT-TT ^' - (- 0'^^'^-^' -Ar-TT " = ^ - (- i)^'^''' T^ ' àx^'- ây'^ ^ ' ùx'^ ôyi' ôx ^ ' ùy

d'où la formule (G. Darboux, Théorie des surfaces, t. Tï). Prenons maintenant une équation d'ordre 2 à Ai variables :

Y{z) ^^aj,,p,,u^y^aupu^ Iz ^ o, p,,j,^ -t±^.

L'adjointe est

(J. Hadamard, Propagation des ondes).

Ces formules permettent de passer de l'intégrale /2-uj)Ie dans an domaine à une intégrale (ai — i)-uple au contour.

Les caractéristiques étant réelles, il s'introduit dans l'intégrale au contour une dérivée suivant la conormale, direction liée à la normale (ou à la tangente). Et ceci donne des résultats intuitifs permettant d'éviter des calculs et de voir immédiatement les frontières exceptionnelles relativement au théorème de Cauchj.

Nous établirons la formule dans chaque cas, renvoyant au Livre de M. Hadamard pour la théorie générale (^ ).

(*) La conormale a été définie par l'auLeur dans son étude de l'équation des ondes {Comptes rendus, 11 février 1901). M. Coulon a fait l'extension au cas général ( Comptes rendus, juillet 1901). M. Hadamard a montré que la direction conormale est bicaractéristique. Voir encore M. Burgatli. qui, dans un Mémoire cité plus loin, définit de la même manière, la direction cotangente {Ace. dei Lincei^ 1906).

l5o CHAPITRE V.

V. — Sur la partie finie d'une intégrale infinie. 1. Intégrale simple, — Soit

I'(a)= / f{x,i)dx.

Si A et B sont des fonctions de a continues, ainsi que leurs dérivées premières, et si /(^, a) admet une dérivée, par rapport à a, continue, il est bien connu qu'on a

^^ r¥^ rrT, .^^ ^/A .^'^

Passons an cas des intégrales généralisées. Soit

Jr'^ dT

Nous supposons que /(^, y-) admet des dérivées pre-

ères -r-j ~ déterminées ei continues (M.

ox on ^ ■'

V est une fonction bien déterminée et continue. On peut nent de variable!

a — x = a(i — jk),

donc faire le changement de variables

et V devient V, :

Considérons d'ailleurs l'intégrale

W.(a)=jr'l[/(a,-,«)/S]-^.

D'après les hypothèses faites, les intégrales Vi et W| convei'gent uniformément (*), d'où

(*) Voir, sur ces questions, le Mémoire de M. de la Vallée-Poussirt dans les Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1892.

EQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l5l

iVIais on peut écrire

Posons

On a

Celte limite existe certainement, comme on Je verrait en faisant dans Wi le changement

Donc enfin

d\ Vd r''-'\, , d.r 1

Mais en dérivant J/j, intégrale ci-dessus, où h est fini pour l'instant, nous pouvons employer la formule (i) :

/[a(.-A),al d

s/hs/\

Cette expression (4) renferme deux termes qui croissent indéfiniment lorsque h tend vers zéro, mais dont la somme est finie, quelc^ie petit que soit h. Nous le savons d'avance par le changement de variables; vérifions-le :

d f{x,CL) ^df I f±[

dy.

ôx

Alors

.ail — A)

La première intégrale sera finie, d'après nos hypothèses.

l5^ CHAPITRK V.

La deuxième intégrale donne

v/a — .r/o J^ ^^ yJrL — x

Ici encore l'inlégrale i\%l finie. Donc

— - = partie finie + '' ^ , , -* (i — /i) — -i-!— — — -^1-J .

Il est clair que les deux ternies en —-•> devenant chacun ^ s/h

infini pour A = o, o/i^ une somme finie, quelque petit que soit h^ [Duisque la somme contient en facteur y/A.

Cette forme nouvelle s'est montrée indispensable dans l'étude de l'équation des ondes.

Même notion de partie finie avec l'intégrale multiple.

2. Intégrale multiple. — Le champ W et la fonction es dépendent d'un paramrlre X :

(I) . "i^J f Jo{x,y,z)dz,

i-i) I + AI = f f f(? -^ ^?) d-z.

w-f-Aw

ISous cherchons 1'= lim -v- •

Pour cela, amenons (i) et (2) à avoir même domaine en

faisant correspondre à tout point [x^y^z) de (W-h AW)

un point (X, Y, Z) de W par les formules

avec la condition que la transformation vaille pour passer d'une frontière à l'autre. ;, rj, Ç sont des fonctions infiniment petites assujetties à cette seule condition.

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l53

Alors

I + A[ =: r r fwi dX dY dZ, J étant le jacobien

iW)

ÔZ

âZ

ôY

W étant la fonction es + Ace exprimée en X, Y, Z. On a

Or,

à^ dri di: . .

dX-^àY-^ôZ-^'''^'^'''''

cp(.,^..) = cp(X,Y,Z) + ^^-^,^-.^^?+...

^^{x, j^, ^) = Acp(X, Y, Z) +. . . = ^ AX +. . .

Donc

Enfin, on a

~(o^)]dXdYdZ-^....

D'oii la dérivée, en remarquant que ç,Vj, Ç contiennent Aa en facteur.

Représentons lim (Ty) pai' ?', etc. Nous avons une inté-

M=zo

grale étendue au volume W et une intégrale étendue à son contour 2 :

+ / / cp(ç'cosa -hr/cos^ -I- !^' cosy) <ia.

Il était clair que seules les valeurs de 5', r/, Ç' sur S interviendraient.

(Nous avons repris la notation x^ y, z- au lieu de X, Y, Z.)

Nous aurons à faire de cette formule l'usage suivant :

W sera le cône

(F étant régulier) ; il se présente encore une partie finie (*).