VI. Sua UN PROBLÈME FONCTIONNEL DE M. GoURSAT

Soient tu(^), défini dans V intervalle o — a, dérivable, et a une constante ; déterminer cp tel que

cp {oix) — »(^) = izi^x).

D'abord on doit avoir 71(0) = o, puis remplaçons x par (on peut supposer a>> i); nous avons

ac

Si la série converge dans un intervalle fini o — b^ même

très petit, elle converge dans l'intervalle o — a, — finissant

par être moindre que b.

Nous avons un cas, très général, de convergence. Si, dans l'intervalle o — b^ on a

(C) l7:(.r)l <Ka7H- (K>o, .u>o),

(') Cette notion a été introduite simultanément par INI. Hadamard {Congrès de Math., 1904 ) et par l'auteur, dans sa Thèse {Journ. de Math., 1904).

KQL AXIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. 1 5

il y a convergence uniforme^ car on aura

y.PV-

Si la dérivée n' (^x) est lipschitzienne,

la série dérivée est aussi uniformément convergente dans l'intervalle o — a '.

On a, de suite, des majorantes.

Remarquons que (C) entraîne (C) avec |^ = i , d'où

a — I Kl a:

(E. GouRSAT, Ann, de la Fac. des Se. de Toulouse, '1*" série, t. VI).