SOLUTION DU PROBLÈME DE C4UGHY ET DE PROBLÈMES ANALOGUES
La méthode de Riemann.
Soit une équation linéaire du second ordre, à deux variables; cherchons, avec Rieinann, la solution elFective du problème de Gauchj : z et ses dérivées premières sont données sur une courbe [Bv (ce qui ne fait que deux données).
Dans quel cas une seule donnée suffit-elle?
Soient
\\Z) = -+-«1 l-6»-T 'x-CZ =0
ôx oy ôx ay
l56 CHAPITRE V.
et l'adjointe
^ , d'il d , ^ à , , ^
(j{ii) = - — ■ — (au) r-(ow) H- eu = o;
Ox ây dx ày
z et u étant des solutions, on a, pour un contour fermé 12, fmdy — ^dx = o.
Prenons le contour formé par les parallèles aux axes \.x\ Ay' et par l'arc BG, découpé sur la courbe j3y, et étudions cette intégrale.
Avec une equalion en r— -? la conormate est la
symétrique de la normale. Donc ici la conormale devient symétrique de la, tangente par rapport à l'axe des x :
dx dx dN^ d^'
dy dy dN """" 'âl'
s étant le contour ù, ou bien
d à dx ô dy
dN dx ds ùy ds
L'intéîjrale suivant BC donne
Supposons donc que z et -7^ sont donnés sur BG.
Sur les parallèles aux axes, nous avons les intégrales sni-
ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE
vantes, après une immédiate transformation :
/ l^-. buzjdx [{iiz)ii— {uz)x] — ^i,
I (auz — z-^j dy+ 1 [(z/^)..v— ( w^)c] = J3.
Si Von peut déterminer w, annulant (2) et tel que
du j -r-vz
Oii = o sur AB, pour ^=^0,
ox
au = o &ur ACi, pour x = Xq,
on voit que (m^)a est connu.
Donc z est connu au point K{xq^ yQ)^ en fonction des
valeurs de j:; et -nrr sur l'arc BC.
L'emploi de la conorniale rend intuitif ce lliéorème :
Si la courbe BC se compose de deux parallèles aux axes, il sufjit de donner sur BC la valeur de z, car celle
de -7T- en résulte immédiatement.
Ainsi, le problème de Riemann est ramené à celui-ci :
Trouver une intégrale u(xo: yo] ^, y) de l'adjointe (2), connaissant ses valeurs :
[ fl'dx
\ e^"o sur AB,
/ <i tly
e^^'" sur AG,
u — i au point A,
!t l'on a alors
(uz)ii-h(uz)c
Admettons donc, pour l'instant, cju'il existe une fonction de Riemann. Nous avons (voi/- G. Daiiboux, TJiéorie
l58 CHAPITRE V.
des surfaces, t. II)
},=.£ auzdy-buzdx^[J^^ (z^-u^yis.
Supposons que le contour BC se compose de deux parallèles aux axes, BD et DC.
Faisons sur ces droites les mêmes intégrations que sur AB et CA; il vient
(uz)c— (llZ)i)
f -u(bz
dz\
dx
{uz)n—{uz) O
-(ï«5)r. r'* / dz\ .
(^o,JKo)A ->
t>(-ï-i,ri)
zx= (uz)u-^ I — u(az -h ^j dy -^- I ulbz Si maintenant nous posions
d3 ÔX
dx.
bz -^ -— — o sur DC,
ÔX
az-\---^=o sur BD, z = \ au point D(.r,, ^i),
ce qui reviendrait à regarder z comme l'adjointe de u (au Jieu de u comme adjointe de ;;), nous aurions
ou, pour préciser,
ÉQUATIONS Di:S TYPES IIYPKRBOLIQL K KT PAIIABOLIQUE. I Sq
Donc nous pouvons éclianger u el ^, à condition d'échanger les rôles de x^ y et ^©^ JKo •
( M(a7o,yo; ^1 y) est solution de radjointe;
( u{x, jk; ^07 JKo) est solution de la priniitive équation.
La fonction de Rieniann ('), sons ce rapport, est analogue à \î}i fonction de Green.
Nous le vérifions de suite sur un exemple. L'équation, identique à son adjointe
admet la solution
dans laquelle
•xz (a = const. ),
a.t (cLty (7.1)"-
t = (x — ro)(y — yo)-
La symétrie est évidente.
Si nous obtenons une fonction de Riemann, continue, nous prouverons aisément: i" que la solution vérifie l'équation; 2** que, si l'on s'approche de la frontière portant les données, il y a continuité entre la solution et la donnée. Nous aurons fait la synthèse de la solution.
Nous parvenons à ce but par les approximations successives de M. Picard.
IL — Les approximatiojvs successives de M. Picard.
Nous posons d'abord le problème de trouver l'intégrale d'une équation linéaire hyperbolique étant données ses valeurs sur des parallèles aux axes, PQ, PK. Nous com-
(') Voir, sur ces questions : Kif.mann, Œ^Juvres, et Uikmann-Webkr, Partielle Dijferentialgleichungen. — P. du Hois-Iîky.mond, Journal de Crelle, t. 104. — G. Darboux, Leçons, t. II. (Nous suivons son exposition.)
iGo CHAPITRE y.
mencerons par le cas simple de l'équalion
= a.z -\- j{x, y) (a = const.).
ax ôy Représentons par z" la dérivée seconde et considérons
lug. 20.
o-Yo)
une série de fonctions Zq, z^^ z-^j, ... définies par la chaîne d'équations
z\ = azo,
z\=-a.z^^ \ toutes ces fonctions étant nulles sur PQ et QR.
Représentons par p^ l'aire du rectangle de sommet A s'appujant sui* Rl^Q, par o/ l'aire du rectangle de sommet
Fig. 21.
^ ^lY.w\
(;,7,); fi^x^y) étant fini et continu, quel que soit (Si'^l) dans poj on a? N élant un nombre assignable,
ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l6l
d'où
l2i(^o,J'o)|<3tN de même
fi
dx dy
< aNiPoJKo;
d'où
l^«(^o,JKo)|<a'^N^^.
La série ^^^'^ (-^o, JKo) converge donc absolument et uniformément, quelque grands que soient les segments fixes PQ, PR.
Il en est de même de la série 7 ^ puisque
.^J ôxq djQ ^ ^
Donc on peut écrire
Donc \ 3/j=^ intégrale cherchée, nulle sur RPQ. Si l'on donnait la valeur de z sur PQ = F(^) et sur PU r= G(jk), l'intégrale cherchée serait
Supposons, maintenant, que pour la même équation on
dz donne z et -rzr sur un arc de courbe RB(^Q coupé toujours
en un seul point par une parallèle aux axes.
Appelons Xi l'abscisse du point fixe R extrémité de l'arc donné et Y< l'ordonnée du point fixe Q. Soient cp(^) la
