D'A. II
dz
valeur donnée de -r— sur la courbe, 'l{y) la valeur donnée
, dz de —
Posons
¥{x)=i i o{x)dx et G(y)= f ^(y)
La fonction F(^) + G(y) est une première partie de la solution. C'est une fonction qui, ainsi que ses premières dérivées, prend les valeurs données sur RQ. Nous avons alors à trouver une fonction nulle sur RQ. Il suffît, pour cela, d'écrire le même système d'équations, en faisant les quadratures, non plus dans les rectangles p/ mais dans les triangles correspondants, formés par RQ et les parallèles aux axes issues de (i, y^).
Pour prouver la convergence absolue et uniforme de la série de fonctions obtenue, il suffît de majorer de la manière suivante :
On remplace la fonction par une limite supérieure de son module et l'on augmente l'aire de quadrature en remplaçant le triangle de sommet (?,yi) par le rectangle p/ de même sommet.
On passe alors à l'écjuation
5 — ap -\- bq -\- cz ^ f{x^ y)
(Note de M. Picard dans le Tome IV des Leçons de M. Darboux). 11 est extrêmement intéressant de noter que des difficultés plus grandes se présentent pour l'équation non linéaire.
Pour le cas précédent, la méthode primitive de M. Picard {Journ. de Math., 1890), méthode directe, conduisait à prendre des domaines assez petits.
On restait dans un rectangle de base a, de hauteur [^ et l'on avait
dx
ÔZx
<Ma.
ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l63
Soient A, B, C les maxima des a, 6, c dans ce rectangle
Il fallait avoir
Ap + Ba4-Gap<i.
Le rectangle devait être, donc, assez petit. C'est ce qui arrive pour l'équation
Nous avons la chaîne
^'i = F(a7, jK, ^0, iOo, ^o) = Fo, z\= ¥{x, y.zupu q\)= Fj,
Chaque solution prend la valeur donnée au contour, ou bien, par un changement de fonction, qui modifie F, on a ramené ces données à zéro; peu importe, car on passe de là à la chaîne équivalente
^'i = Fo,
(^ç,^z= z,i — Zn-\, donc Ics donnécs sont nulles.)
Si la fonction F, relativement à z, p, q satisfait à la condition Cauchj-Lipschitz, on prouve la convergence dans un rectangle assez petit. Ici le mode de convergence est
Précédemment c'était
X I quelconque.
l64 CHAPITRE V.
M. Picard passe ensuite au cas oii l'on donne z :
i" Sur l'axe O^; 2° sur la bissectrice j^ = .r.
Par un changement de variables, on passe au cas où z
est donné : 1° sur l'axe Ox] 2^^ sur une courbe située dans
le premier quadrant.
