Problème de M. Goursat. — Trouver une solution de

s = /(^, JK),

nulle sur les droites

y = x, y = cLx (a>i).

Ecrivons la solution générale

/ du I /{u,v)dç ^o{x)-^'\>(y);

cp et ^, arbitraires, seront déterminés par

^{oLx) — ^{cc) = F(a7, ic) — F(^, <xx) = Tz(a:).

Nous sommes ramené à un problème résolu, car ou a

'K(x) = {i — (x)xF'y{x,^x) (i<Ç<a),

d'où

\'k{x)\<M{ol-i)x^,

d'après les relations immédiates

IFKMo.^, |f:,|<Mjk, |f;.|<m^.

EQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE

Nous avons

De même

d'où

TZ:{x) = (i — OL)cp¥'jc{KiCC,a.x) (i< Ci<a), |7ri(;r)|<M(a — i)a;(a;^),

P'ig. 22.

Mair2

Finalement on a, pour la solution ^,

M OCX- My^

\^(^i y) I < ^î^jK

Étudions les dérivées, en posant

dx "* dy '

Tz' {x) = X{x,x)^Y(x^ x) — X(a7, aa?) — olY{x, olx)

= \(x,x) — X{x^oLX)-\-Y(x,x) — Y{x,ct.x)-+-{i — 'x)Y(x,ct.x). 1° \X{x,x) — X(x, (xx)\<,M(<x — i)x,

X contenant le signe / c'est immédiat.

2* 1(1 — a) Y(a7, aa7)| < M(a— 1)37.

l66 CHAPITRE V.

3° Supposons la fonction / lipschilzienne, c'esi-à-dire

l/(^',y)-/(^,7)l<H|;r'-;r| + K|y-j-l, on a

Y{x, olû:) — Y(x, x) = / \f(u,oiX)—f(u,x)]du,

le module est donc moindre que K(a — i)x^. D'où

I 7r'(:r)| < 2M(a — i)jc-{-K(a — i):r2.

d'où

2MjK,

lf(J)l<

Kr2

De même

j 7r;(a7) I < 2Ma(a— \)x ^ Ha(a — i):r2,

, , , , , iMy.x Uocx-

diC