Nous pouvons maintenant intégre

s = f{oc, y,z, p,q),

dans le premier quadrant, f étant continu au voisinage dex=:y=^z^^p^=^q^^o,si V on a

z étant nui pour y ^ x e\ JK = ^x.

Soit Zq=^ o,

âx dy

Zn = f{x,y,Zn-u Pn-\,qn-\\

ÉQUATIONS DHS TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. 167

M étant une limite supérieure de /lorsqu'on a

d'après ce qui précède,

I ^„ |< MAr2, \pn\< MB/-, \qn\< MCr,

ceci en tout point du domaine défini par ;•; A, B, G dépendent de a seul.

Si la série

converge, elle représentera lim^^,

— /( ^, r, ^n-- . . . ) = fn-i — fn-t.

Si, dans le domaine, on a

\Zn-\ — Zn-i\<^, I /?„,— /)„2 I < T, \qn-\— qn-l\<^i

il vient

|/„-i-/„2l<(H + K+L)T, |^.-2n-i|<A(H + K-4-L)TH, |/>,v-/>«-il<B(H-+-K + L)T,-, lg'«-^«-il<G(H + K+L)Tr.

Ceci fixera /*. Nous le prendrons tel que ces trois seconds membres soient moindres que XT,

Soit alors N le plus grand des trois nombres MA/'2, MBr, MGr.

Nous avons, en somme,

et les mêmes relations pour | p,i — /?,,, |, \qn — q,^^^ |. Donc z,i^ Pm qn ont des limites pour n = co.

Puis

<(Hh-K4-L)NX"-2.

Donc s,i a aussi une linûte

lÀmZn{x, y) = (m{x, y) solution cherchée.

La solution est unique [voir le Mémoire de M. Goursal).