Equation à trois variables

ôx^ djK- Oz- \ ■> ^ 1 !

La conormale N est la symétrique de la normale extérieure n, par rapport au plan horizontal, et l'on a

(G)^f[„A(V)-VA(«)]<..=|(„§-V§)./u..

(Intégrale de volume.) (Intégrale sur le contour. )

C^est immédiat, sauf qu'on n'avait pas remarqué autrefols que le second membre contient des dérivées véritables.

La surface S porte les données, w, -^; nous la coupons

(') E. Picard, Bull, des Sciences math., 1899; Soc. math, de France, 1894. — E. GouRSAT, Ann. Fac. de Toulouse, ■?." série, t. V et VI. — J. Hadamard, Soc. math, de France, t. XXVIII, XXXI, XXXII. Pour ce type de problèmes, M. Pit-ard a résolu une nouvelle équation intégrale. Voir les Comptes rendus, 1907.

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. I7I

par un cône caractéristique A,

{z — z»Y—{x — Xç,Y- (jK— JKo)^= o,

et nous cherchons à obtenir la valeur de m, au sommet.

Il nous faut une adjointe V (ici l'adjointe est identique à l'équation) qui soit nulle sur le cône A, de sommet A.

Nous sommes alors certain que, sur A, on a

En plus, Y {x^ y, z) sera infinie sur l'axe vertical A^'. Dans ces conditions, si l'on applique la formule fondamentale au volume marqué par des hachures, si u et ^

sont donnés sur S, la formule se réduira à une intégrale simple étendue de A en P égalée à un terme connu.

Une inversion donnera w intégrale de A(w) =: F(.r,y, z). Montrons-le.