Soit A : (xq, y-Q^ Zq), soient
soit
-Xq,
^yi
r =r — ro,
Cherchons une fonction V = f (^ )• On a V est bien nulle sur le cône A, cjui a pour équation
Soit r = £ l'équation du cylindre vertical F, de rayon très petit. La formule (G) donne
Or
///vP(.,,,.)...//(„-v-)...
D'après un raisonnement constant, on peut faire éva-
nouir £ et cette intégrale donnera donc zéro. Il reste l'intégrale
(F) — dià = — . /• da dz.
1 est indépendant de /• =: s. Faisons tendre z vers zéro et nous avons
da I u{xo, ya, z) dz.
Posons
Nous avons
ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. IJ
3. Si la surface S n'est coupée qu'en un point par tout cône caractéristique ayant son sommet sur S, on vérifie bien : i" que A(w) = o; 2^ que 11 et ses dérivées prennent les valeurs données à la frontière (Synthèse, faite par l'auteur). M. Hadamard a étudié l'équation analogue où les coefficients des dérivées secondes ne sont plus constants. MM. Tedone et Coulon ont fait diverses extensions très importantes de la méthode de M. Volterra (*). Celui-ci avait été précédé, à un point de vue différent, par Poisson, Rirchliof, Beltrami.
La direction conormale, nous l'avons dit, donne immédiatement celles des surfaces S sur lesquelles la donnée de u est seule nécessaire et suffisante. L'emploi des partie-finie permet d'intégrer l'équation plus générale, où le second membre contient des dérivées premières. C'est une nouvelle application des approximations successives.
A. Equation à quatre variables :
Le point de départ est identique.
V- ^r^-i, r^-={x — xo)^-h(r-yoy-}-(z-zoy; "(•2^0, 7u' ^0, i) {t — t(:)dt
Donc w(^o, j^Q, -3o, ^0) s'obtient par deux dérivations en te..
(') V. Volterra, Acta matheniatica, 1894. — 0. Tedone, Annali di Matemalica, 1898. — J. Coulon, Thèse, 1902 (Hermann ). — J. Hadamard, Leçons, 1908 (Hermann); Ann. Ec. norin., igoS. — K. d'Adhémar, Comptes rendus, 1901 et 1902; Journ. de M. Jordan, 1904 et 1906; Bendiconti del Cire, di Palermo, 1906. — T. Levi-Civiïa, Nuovo Cimento, 1897.
Mais, en les effectiiant, on s'aperçoit : i° qu'il ne se présente pas de partie-finie; 2" qne le résultat ne contient que
les données a^ -j- sur le bord de r hypers urf ace, sur l'intersection de la surface des données o(^x, y, z^ t) =: o avec le cône t — ^0 = '*•
C'est un nouvel avertissement de la nécessité pressante de bien étudier les cas d'applicabilité intégrale du théorème de C.auchj.
L'étude des équations (B) est plus simple que celle des équations (A) (principe de Fïuygens).
