Equation quelconque : F(^, jk, ^, /?, q) = o

dx * " ' dp

Garactérisliques :

i^' Un conolde de ces courbes en un point (^<*, ^<^, z»).

La solution passant par une courbe G s'obtient en menant par la tangente à G un plan tangent au conoïde et en prenant la caractéristique définie par le contact sur le conoïde.

G étant

a70(a), .ro(w), z^{u),

dz^ du

-pO

dx^ du

dy^

Le conoïde des caractéristiques est une solution.

2° Soit une intégrale première du système des caractéristiques <ï>(:ï?, jr, ^,/?, ^) = o; F et ^ permettent d'exprimer/? et q en x^y, z\ alors

dz — p dx — q dy = o

donne une intégrale complète de F,

V(.a7, jK, z, a, b) = o.

El l'on obtient une intégrale générale en posant

b = cp(a) (o arbitraire),

et en prenant l'enveloppe des surfaces V.

Même théorie si l'on a n variables indépendantes (' ).

(*) Ceci présente des difficultés. Il faut se reporter au beau Mémoire de M. Darboux, Mémoires des savants étrangers, Institut de France, i883, et aux Ouvrages de Sophus Lie, Differential-Gleichungen, 1891; Berûhrungs-Transformationen, 1896, Teubner, Leipzig. — Voir aussi les Leçons de M. Goursat, 3 vol., Hermann.