i H- I ) Faisons le produit

Il faut prouver que Yl^n ^t ^■iii^\ ont même limite, pour n^=oo. Gela résulte de l'inégalité

"2/i> H2/i-M > H2rt-f-2,

d'où

Nous avons donc

liin [(o.n-hi) H|„+,] = --, ou encore

Dans Ha/z+i, faisons x^=i i — z-, puis

d'où

(3) \/nU2n+i= 1 (i \ du.

Cherchons la limite de l'inl<'grale. D'abord e-"' du= / H- / .

La deuxième iiilégrale tenrl vers zéro avec |-« Menons «assez grand pour que l'on ail

e étant tel que Le tende vers zéro quand L croît indéfiniment.

Le deuxième membre de Tégalilé (3) a donc même limite

que f D'où

(4) / e-"^du=^

(Connaissant cette valeur et intégrant la même fonction sur un triangle formé par Taxe Ox^ la première bissectrice,

et un cercle de rayon très grand, dans le plan de la variable complexe, on obtient les intégrales de Fresnel

J sin (x'^) dx = J cos (x') dx = ^i/^' La formule de Wallis a été obtenue

^& ce*

ceci s'écrit aussi bien, en posant :

•f{-iX)

On peut encore remplacer cp par à = Z).e^

«L (ip-+- 1)

Faisons le produit

^ (x) ^ (x -i- i) ^ (-ix— l)

'i^ix^l) '\>{X-h-l) ' ^{'2X)

d'où

d'après (5') et (5'^),

1^=37! = ^■AT.e-^x'''^^- (i-H£.r) (Stirling),

£a; tend vers zéro avec - •

Par la théorie de la fonction gamma, on a une meilleure approximation.