Soit une surface S

dz dz

Exprimer x^ jk, 2, />, q-, en fonction de deux paramètres a, [^, de façon à vérifier les éqiiations

dz — p dx — q dy = o,

z—px — qy = ce,

u est donné.

Î51 -— r = o, et dans ce cas seulement, la suriace est une

courbe.

Former, en a et [3, l'équation différentielle des asymptoliques.

Lorsque u = AB + aB, -f- Bo, A dépend de a seul ^ B, B, , B2 dépendent de ^ seul (les fonctions B sont données et A est arbitiaire)^ la surface S vérifie une équation linéaire

P, Q, R, sont fonctions de x^ y^ z.

Quelles sont lès caractéristiques de cette équation?

31. Soient O^, Oy, Oz trois axes rectangulaires et une surface S dont le plan tangent en un point M coupe 0^7 en P et Oy en Q.

Trouver les surfaces S telles que les triangles OMP, OMQ aient même aire.

Soit Y une caractéristique de l'une des équations obtenues, autre que l'équation de certains cônes; on prend deux surfaces quelconques, Sq et S,, coupées chacune en un seul point par une courbe y, et l'on prend un cylindre de courbes y, découpant des aires correspondantes o-q sur So et a-, sur S|, ce qui détermine une surface fermée. Calculer l'intégrale, étendue à celte surface,

cos3\ ,

A étant la distance d'un point à O^, B étant la distance d'un point à Oy, a et [^ les angles de ces axes avec la normale à la surface.